质子束治疗示意图一般来说，质子或重离子的布拉格峰的范围比较窄，因此单个粒子线只能对准较小范围内的肿瘤组织。但若同时发射多个粒子线，它们的布拉格峰连成一片，形成所谓“展开的布拉格峰”（spread

最近几天陆续收到一波一波物理爱好者的留言和提问，他们对磁铁的磁力做功这件事感到困惑，典型的问题有两个：第一，既然磁铁的磁力可做功，那么这个能量源自何处？第二，磁力看起来好似可一直做功，若真如此，那岂不成了永动机？看到“永动机”三字，有人可能有点坐不住了。其实，笔者也不想用这么令人惊悚的词语！但你尽可放心，只要你相信能量守恒定律，这篇文章一定会再次帮你确认——依赖磁铁的永动机是不可能实现的。温馨提示：阅读本文后面的内容之前，可先阅读本公号之前的一篇文章：“为什么磁力能持久，而人体肌肉却会疲劳？”功，最基本的物理学概念，它是指质点在力的作用下发生位移的过程中所积累的一种量，简而言之，功就是力的空间积累作用。对于保守力来说，由于它做功与路径无关，从数学上可以证明，总能找到某种空间坐标的函数，它在某两点的函数差值刚好等于保守力在这两点之间所作的功（可参考本公众号文章“什么是保守力？”）。这个函数就是势能，通常用

当你看到这个标题时，也许你觉得这是一个无须回答的问题。因为你相信，自然界的基本作用力本来就是持久性的，磁铁之间的力也是如此；而肌肉会疲劳更是显然的。的确如此！正是靠磁力的持续作用，人们设计了各种精巧的磁悬浮实验和设备。例如，下面动画中的物体能避免下落，就在于磁力抗衡了重力。对永磁体来说，它的磁力将一直持续，且不需要额外付出任何代价。然而，在很多人看来，磁力这种无需代价的持续性作用力不同寻常，甚至有点诡异。在他们的认知里，磁力不是通过绳杆连接来维持，而是隔空发力，必然不会持久。甚至有人认为，磁力就像通过能量消耗而反复获得的某种神秘力量。这可能与某些人武侠片看多了有关，他们觉得磁力就像武林大侠输出的内功。既然乔峰一记降龙十八掌要耗费不少功力，那磁力应该也是无法持久的了。面对这些荒诞的看法和疑问，你可能会说：“想多了吧，磁力源于运动电荷之间的一种作用，这种作用本来就是持久性的！你还是看书去吧，别光思考而不学习！”对一个学过物理或有意学物理的人来说，这样回答他，虽不太完美但也基本到位。但是，若对方是一个物理小白，这样回答就有过于敷衍了。那么，面对这种问题，正确的科普姿势应该是怎样的呢？简单的说就是，消除错误观念，建立正确的物理图像。为了达到这个目标，首先要了解和探究提问者的错误观念是什么，这样才能对症下药。之所以说“了解和探究”，一方面可通过询问对方提问的目的来了解他真正关心的是什么；还可通过代入自己到对方知识层次——设身处地，推测他可能的错误观念的症结所在。对很多人来说，当他们面对一些新的物理问题时，很容易受到已有的生活经验或旧的物理知识的影响。因而先入为主的对某些物理问题产生错误的认知。例如，有人了解到，持续的气流或水流的冲击能产生力的作用，就像下面图中的乒乓球在吹风机的气流中浮起来了。据此他们相信，磁力也是一种类似的作用力，它需要来自外界的能量供给。因此，他们对磁力能一直持续这件事感到不可思议。但显然，磁力根本不是某种神秘的气流所导致的，它源于大自然的一种基本相互作用。对磁铁来说，它就是磁铁内部的带电粒子——电子之间的作用。由于磁铁内部的电子大多都整齐的绕一个方向旋转，这就产生了磁力。只要那些同向旋转的电子保持在那里，它们的相互作用也就一直在那里，宏观上就造成了一种持续的磁力。对于理解了做功地概念的人来说，当受力磁铁没有移动时，虽然磁力持续作用但实际并未做功，所以也就不需要能量输入了。其实，这种持久而不需要付出额外代价的力何止是磁力？最容易想到的，地球上的物体不都受到持久的重力吗？类似的，电荷间的力不也是如此吗？没错，两个点电荷之间的库仑力是持久的，两个质点之间的万有引力是持久的，各种基本粒子之间的相互作用——强相互作用和弱相互作用，也是持久的。这些最基本的相互作用正是构筑大千世界种各种力的基本成分。既然它们都对时间持久而无需其他代价，那么世界上的所有力的作用也自然是持久而无需额外的代价。正因为如此，我们坐在椅子上，地球持久的对我们施加重力作用，而我们的身体对椅子也施加持久的压力，椅子反过来对我们提供持久的支持力。地球、我们和椅子都无需为这些作用付出额外代价。实际上，在我们日常生活经历的所有作用力中，除了惯性力（它不是相互作用力）和地球给予的我们的引力之外，其他所有的力本质上都是源于电荷间的相互作用——电磁力。电磁力要么持续地排斥，要么持续地吸引，作用双方无须直接接触。你眼里各种常见的动作——拉扯，摩擦，拍打，它们本质上都是电磁力导致的，背后的力都是由无数个基本的持久吸引和排斥构成的。我们坐在椅子上，为什么没有陷进去？这完全可以理解为大量电荷之间的排斥力的集体作用的结果；而绳子之所以能抗拉力，则是源于它内部的大量电荷之间的吸引力；我们用力按在桌面上，桌面会报以持续的反抗力，它与磁铁之间的排斥力是类似的。既然你对这些力的持久性从不怀疑，而磁力实际上与它们同属电磁力，那么自然的，磁力的持久性也是必然的了！但这样解释，就算完成科普了吗？对有些人来说，够了，但对很多人来说，这恐怕还不够！他们还是觉得蹊跷：力既然是持久的，只要不做功的话，就应该不需要付出代价，但为什么实际中很多时候，即使不做功，却仍旧需要付出代价呢？例如，当你举起一个重物时，即使站着不动，你的体力也在不断地被消耗。过一会儿你就开始两股战战，累的够呛。显然，你提供的“举力”需要能量来维持，但重力却只是简单地、毫无代价的持续着。结果是，你在对重力的挑战中败下阵来。再例如，当你用力捏住握力器不动时，你的精力在持续消耗，手开始感觉酸溜溜的，握力也变得飘忽不定，但那弹簧却持续的对抗着你的小肉手，直到你放弃为止。在小小的弹簧面前，你又完败了！这个问题曾经困扰了很多人，还有很多学过大学物理的人仍旧不知道如何回答这一问题。原因在于，它不是一个纯粹的物理问题，理解它还需要一点生理学知识。按照生理学，人体的力是由肌肉负责产生的。人体肌肉为639块，分为三种，分别是骨骼肌、平滑肌和心肌。骨骼肌，就是使骨头活动的肌肉。因它们的活动既受神经支配，又受意识的控制，所以又称随意肌。收缩的特点是快而有力

今天开始，咱来聊聊摩擦力。第一篇文章，我们先来讲讲摩擦力的基本知识，后续再讲讲摩擦力的一些细节问题，以及关于它的那些普遍被误解或不为人知的事。01摩擦力的基础知识简单的说，摩擦力是指接触的物体之间出现的一种抵抗横向相对运动或运动趋势的力。很显然，摩擦力不是一种基本力，它是由接触面处的微粒集体作用的效果。实际上，它的微观本质源于电磁相互作用力。由于摩擦力是大量粒子集体参与的，因此它的作用过程是一种宏观现象，必然与大量粒子的运动相关联，也就是所谓的热现象。当物体接触面相对滑动时，那些彼此靠近的原子或分子就会互相推动和拉扯。这会导致两种主要作用，一是那些粒子之间的结合被打破并重新结合，这往往会导致放热；二是原子受到外力作用，会导致加速运动，从而使其热运动的动能增加，温度升高，这也会导致放热。无论沿着哪个方向运动，摩擦力都会导致一样的后果，都是让机械能变成热能，你不可能通过相反方向的摩擦回收之前产生的热。路径越长，经摩擦产生的热更多。换句话说，摩擦力是非保守力，它做功的过程不是可逆的。摩擦起电是另一个由摩擦导致的典型现象。简单的说，不同的物质中的电子受到的束缚作用存在差别，当二者接触时，就有电子被其中一方获得，这就导致了电荷分离。摩擦力的作用不过是加强了这种物质间的接触，所以导致了更明显的电荷分离。由于涉及的原子数量如此之大，从第一性原理的层次计算摩擦力是不切实际的，所以摩擦力一般只基于经验分析来研究。法国物理学家阿蒙顿（Amontons，1663~1705）最早系统地给出了固体间摩擦力的三条经验规律，即定律一：摩擦力与施加的正压力成正比。

电流是导体内带电粒子作大规模定向运动所导致的。随着电流的接通，电源的能量——由某种力克服电场力做功获得的电能，被传送到电路各处以供使用。若电流经过电阻，将产生热；若经过电动机，将通过安培力对外做功；若经过发光设备，则发出光。总之，电流流过的地方，就会有能量转换，即从电能转化为其他形式的能量。读到这里，很多人的脑子里会有一副这样的画面：那些随着电流漂移的带电粒子——我们称之为载流子，就像一个个背着储能小钢罐卡通人一样，它们在电路中奔跑，将能量不断送出，周而复始，直到电源被耗尽。01载流子的运动根据上面这种理解，大多数人很自然就认为，电能是通过导线，随着载流子的运动而被传送的。据此，有人用如下动画表示这种过程。导线中流动的载流子彼此连成一个环状的列车，从电源出来的载流子能量满满，穿过负载后，能量被消耗一空，电子空车又返回电源重新装载能量，再出发。那么，物理事实真的是这样的吗？非也！仅凭一个大家熟知的事实，就可以否定这种说法。诸位在中学物理中都学过变压器，如下图就是一个示例。可以看到，两个线圈之间是绝缘的，电流并没有接通，所以指望电能随着载流子在导线中运动而被传递的想法是不对的。你再想象一下，当那电站的闸刀一合上，电能瞬间就被送到了千里之外，如果真的靠导线中的电子的运动来携带电能，那速度怎会如此之快？也许你会说：也不是不可以哦，毕竟电子的速度可以很快嘛！然而，导线中的载流子的速度其实比你想象的要慢的多。不信的话，我们可以算一算。考虑铜导线，假设每个铜原子贡献一个电子作为载流子。现有1mol的铜，它的体积为

都知道，保守力是指做功与路径无关的力。典型的保守力有重力、弹力、万有引力和静电场力等。但很多人不理解保守力的意思，是什么决定一个力做功与路径无关？为什么保守力会有势能？势能既然是位置的函数，有的人感觉应该能从数学的角度统一定义，但又不知道怎么弄。本文就来说说这些问题吧。1

编者按：新学期开始了，欢迎学习大学物理的小伙伴们！大学物理相比高中物理，理论更深，数学上更多的依赖高数，尤其是矢量和微积分。本公号将大物用到的高数的主要方面分三篇文章介绍一下，希望有所帮助。本篇介绍矢量、微分和导数等内容中对大物较重要的方面。至于那些经常用到的基本内容，如求极限（如洛必达法则）、求导（如一些常见的函数的导数）和求极值（如极值条件）等就不讲了。另外，这些要点并不是按照物理课本内容的先后顺序安排的，而是按照数学上的相关性放在一起的，有些内容在大物下学期才会用到。01矢量的符号问题矢量可用黑体字母或带箭头的字母表示，例如