查看原文
其他

什么是保守力?

薛德堡 物含妙理 2023-08-20

都知道,保守力是指做功与路径无关的力。典型的保守力有重力、弹力、万有引力和静电场力等。但很多人不理解保守力的意思,是什么决定一个力做功与路径无关?为什么保守力会有势能?势能既然是位置的函数,有的人感觉应该能从数学的角度统一定义,但又不知道怎么弄。本文就来说说这些问题吧。



1


01


常见的保守力


先来撸一撸常见的几个保守力,已经深谙这部分的,可略过直接看下一节。


重力:质量为  的物体,以水平面为xy平面,竖直向上为z轴建立坐标系,如下图,设物体从空间a点沿任意路径运动到b点。

由于重力竖直向下,即为 根据做功的定义:将力对位矢从a点沿给定路径积分到b点,即为所做功,即

显然,上面第三个等号后面是一个定积分,其值不包含关于积分路径的任何信息,即做功与路径无关,只取决于始末位置,为保守力。


弹力:设劲度系数为  的弹簧水平放置,连接一个小球,以弹簧原长  位置为原点,水平向右的方向为x轴,如下图,设某时刻小球在a点,经历若干来回后,另一时刻位于b点。

根据上图所示坐标系,根据胡克定律,小球受回复力为 根据做功的定义 同样,做功的结果并不体现小球来回往返的信息,做功与路径无关,也是保守力。


万有引力:质量为  的质点,在质量为  的质点的引力作用下,从a点沿如图所示路径到b点。

以  为原点,  所受万有引力为 式中  为径向单位矢量,与  反向。万有引力做功为 大多数书上采用如上图微元法分析,稍微麻烦一点。若在极坐标系中分析,其实更直观,因为  ,故 

由于  大小不变,故  必定与  垂直(具体可参看公众号文章“大学物理的数学必备(一):矢量、微分与导数”),则  ,从而 做功与路径无关,也是保守力。


至于静电场力,因为库伦定律与万有引力形式类似,故证明类似,此处略。


再来看一个非保守力的例子:摩擦力


考查一个质量为  ,在水平地面滑动的物体,设它经过一个任意路径  从a点运动到b点,设地面滑动摩擦系数为  。

则摩擦力做功为 结果含有路径长度,故做功与路径有关。


1


02 


一个等价的定义 


根据保守力的定义,可得到一个推论保守力沿任意闭合路径做功为零。


如图,保守力沿闭合路径acbda做功为 根据保守力的性质,必有  ,故上式为零。


反过来,如果力对任意闭合路径做功为零,则总可以证明沿任意两点之间不同路径做功相等。


故上述推论与保守力的定义互为充要条件,可当作另一个等价的定义。



1


03 


探求保守力的共性 


好,回头看那几个保守力有何特点。


重力,看得出,是因为它是一个与空间位置无关的恒力(注意,方向也要恒定,所以摩擦力不是恒力)才导致做功与路径无关,若换其他恒力,例如 其中  ,  和  是常数,则  做功也与路径无关。 因此,与位置无关的恒力是保守力


弹力,虽然是一个变力,但由于它的方向始终在一条直线上,且只是位置坐标x的函数,这导致做功只取决于始末位置。若考虑力 其做功显然也与路径无关。因此,只与一个坐标有关,且沿一条直线方向的力是保守力


万有引力和静电场力作为保守力,是因为它们都只与矢径  有关,这种力总是沿着一条指向中心点的连线上,称之为有心力,由以上证明可知,若将万有引力换作其他任意有心力 也可以证明其做功与路径无关。因此,有心力是保守力


以上总结还算到位吧,据此可以确认不少保守力。但这种总结看起来只是一种经验罢了,缺乏一般性的结论,理论上,到底是什么原因导致一个力是保守力呢?


想想,做功的定义是什么?


对,是力对空间的积累,在数学上是力的矢量函数  对位置矢量  的积分,它是第二类曲线积分,可通过将力取切向分力而化成第一类曲线积分,即 这种积分在数学上满足什么条件时,其积分值与路径无关呢?或者说,数学上,有什么条件使得一个闭合曲线积分总等于零?


赶紧翻我那久未谋面的同济版高数。


有了!斯托克斯公式(二维情况称作格林公式)告诉我们:任意闭合曲线  的环路积分,总可以化为任一以该曲线为边界的曲面  上的通量积分(严格来讲,曲线和曲面都应该是光滑的),即 此处  ,称作旋度。显然当  为零时,这个闭合曲线的积分不就等于零吗?不错!这就是高等数学中判定曲线积分与路径是否有关的一个重要定理。


实际上,数学上已经证明,“矢量函数  旋度为零”这个命题,与"矢量函数  的闭合曲线积分为零"以及“矢量函数  的曲线积分与路径无关”这两个命题是等价的。


那么,旋度是什么呢?在直角坐标系中,它的定义是 

看起来有点不好理解吧。简单的说,旋度是用来刻画矢量在空间的旋转,弯曲和卷缩的程度。



用上述定义检验发现,前面提到的几个典型保守力的旋度都为零。既然这样,那判断一个力是否是保守力,只需判断作为力的矢量函数是否有旋度即可。如果旋度为零,则就是保守力,而旋度不为零,则不是保守力。


下面构造一个假想的“力”看看,假设

可以验证,其旋度为零,因此它必定为保守力。再构造一个“力”,假设 其旋度不为零,因此不是保守力。实际上,这个力分布在一个环上,其方向沿着切线方向,有兴趣的同学可自行证明。


旋度在场论中使用很频繁,现代物理学认为,力的作用都是通过场以光速传递的,它决定了力的性质。人们用场线描绘场强的分布,如果这些场线形成闭合的旋涡状,那就是有旋度的,这种场就不是保守场,而如果场线都是不闭合的,则没有旋度,就是保守场。


记得中学学的磁场吗?用来形象描绘磁场的磁力线是闭合曲线,空间无论多小的区域,里面都有嵌套着的大大小小的磁力线的旋涡,这表示磁场的旋度不为零。那么根据以上所讲,磁场就不是保守场。


对静电场来说,它是用起始于正电荷,终止于负电荷的电力线描绘的,由于正负电荷不能在同一点,因此这种曲线就永远不会闭合,所以静电场就没有旋度了。而感生电场就相反,它类似于磁场,描述它的场线总是闭合的,其旋度不为零。根据以上所讲,静电场和感生电场分别是保守场和非保守场。



1


04 


什么是势能? 


对保守力来说,由于做功与路径无关,因此任意两点a和b之间,沿任意路径做功的值,只与a和b的位置有关。换句话说,做功可以表示为a和b的位置的函数   ,即 

现在空间中取一个定点c,既然保守力做功与路径无关,则从任意点a到b所做的功等价于先从a到c,再从c到b所做功之和,即 根据积分的性质,倒转积分方向,所得值反号,故 根据(1)式,将上式右边两项都表示为函数  ,即 既然c点是一个定点,即  是一个常矢量,则上述右边的  函数只与第一个自变量有关,将其改写为新的函数  ,即 那么从a到b,保守力所做功  可表示为 故得到结论:保守力所做的功,等于一个位置函数  的减少值。  


可是,这个费半天得到的结论有何用呢?


我们知道,功是能量转化的量度,做功必然伴随着某种形式的能量的转换,在力的作用下,如果动能增加了,必然是某种其他的能量减少了,而反过来,如果动能减少了,这些动能必然变成了某种其他形式的能量。


上面这段话对任意的力都成立,但对保守力,有了这句话,我想你应该马上意识到上面结论背后的意义了。


是的,  具有与功一致的量纲,因此,全空间看起来就像一个蓄能的池子,不同位置蓄能不同,而  就是空间各点的储能值,基于这种理解,人们称其为位能。但其更广为人知的名称是势能,表示保守力在对应位置做功的潜在能力。


放在阳台上的花盆对下面的人具有潜在的危险,因为它的质量配上所在位置,就拥有了相应的能量,具有做功的潜能,将它取下,它能量就减小了。


到目前为止,已经比较清楚了,势能和保守力之间,类似于老板和工人之间的雇佣关系,前者负责供给,后者负责实施。你消耗了体力(做正功),我就提供资源支持,你赚了工分(做负功),我就回收资源以备后用。总之,咱们搭配一起,蓄势待发。


然而它们之间是否存在一种确定的数学关系呢?也就是说,根据保守力,是否能把势能函数定下来呢?反过来,根据一个普通的函数,它是否对应一个保守力呢?



1


05 


从保守力到势能 


根据上节(2)式可知,在数学上,一个保守力的势能函数  在两点之间的差值,总等于保守力在此两点之间的任意路径上所做的功。


对确定的两点,做功的值是确定的,即两点之间的势能差是确定的。那么,若在未知的势能函数  加上一个任意常量,(2)式依然成立。这说明,势能函数本身的值不确定。


再借用老板和工人的关系来理解:工人今天从老板那里支取了一笔款,但工人无法知道老板到底有多少钱,他只知道老板的资金在支出的瞬间减少了多少。


看来想从力出发得到确切的势能是不可能的了!那就退一步,能否找到那个带有常数项的函数呢?


这就需要先确认一件事:保守力的势能函数一定存在吗?


答案是肯定的:存在!


其实上面的(2)式已经表明这一结论,只是不那么直白罢了。在数学上,关于函数的曲线积分与路径无关的判定问题,不光可根据前面提到的三条等价命题(上滑看下是哪三条),还有第四条等价命题,它明确此函数是存在的。


这第四个命题说的是:

存在函数  满足


可证明,若  是保守力(前三条中的任一条成立即可则此命题也成立;反过来,若此命题成立,也可推出该力是保守力。也就是说,这个命题也是力作为保守力的充要条件,也可作为保守力的定义。


那么,该命题中的  就是势能函数吗?不,  才是!因为保守力做功导致势能减少,而非增加。设  ,则 其实,有同学可能早已看出,此式不过就是上面(2)式的微分形式罢了,之所以在这里啰嗦一遍,原因有二。


一个原因是,我想将这四个关于保守力的等价定义汇聚在此:


若  是保守力,则以下四个命题都成立:

1)  的曲线积分与路径无关

2)  对任意闭合曲线积分为零

3)  的旋度为零

4) 存在  使 


反之,上述命题中任一个成立,则  是保守力。


另一个原因是,我们可根据全微分方程的解得到势能函数。


在数学上,微分方程 的解就是要寻找的势能函数  。而微分方程的理论,当  是保守力时,这个方程的通解为 此即势能函数,其中  是任意常数。


若设  ,则相当于选取了点  为零势能参考点,这样就将全空间的势能确定为 注意:此处用三元函数表示,其实不过是前面提到的  具体到一个坐标系中的形式而已。


课本上常见的势能表达式形如 

其中  为任意点。此式与上面(4)式是一致的,有兴趣者可自行证明。如果要说二者之间的区别在哪里,那么,它们除了看起来有点差别之外,更重要的是,(4)式给出了一种势能函数的傻瓜求法,而此式还只是做功的与势能关系的原始表述。


作为本节方法的验证,我们来求一下重力,弹力和万有引力的势能函数。


重力:  ,根据上述方法,设  处势能为零,则势能为 弹力:根据  ,根据上述方法,设  处势能为零,则势能为 

万有引力:根据 

设无穷远处势能为零,势能为 


1


06 


从势能到保守力 


势能  既然是一个普通的场函数,在直角坐标系中,其全微分为 将其与上面(3)式对比,由于  ,  和  是任意的,则必有 写成矢量形式即为 如果用梯度算符表示,就是 哦,原来保守力是其势能函数的负梯度!


相比从力得到势能,从势能得到保守力看起来简单多了——毕竟求偏导谁不会呢!


有的同学可能已经想到:一个函数的梯度不总是没有旋度吗?来看是不是这样的,设有函数  ,其梯度的旋度为 行列式运算用起来——噢,果然为零!


哦!难怪保守力没有旋度,它的出身——函数的负梯度,就令它遗传了这一基因。



1


07 


为什么保守力总是内力?


现在知道了,保守力做功的过程,总伴随着势能与动能的转换,动能好说,谁动就是谁的;但势能到底属于哪个?力的作用是相互的,保守力也不例外。缺了某一方,就没有力的作用了,那势能也就没了。


既然势能的“军功章”上,作用双方都有份,那当然只能是共同拥有了!比如,阳台上的花盆,重力势能是它的吗?不是,是它和地球共有的。


如此一来,当提到保守力时,应将作用双方都包含进来,否则势能的概念就失去了有效性,这使得保守力总是体现为系统的内力。反过来,外力中就没有保守力了。


哦!那问题来了,上面计算的势能,考虑了双方吗?


回答这个问题之前,先来看看一对力做功的计算问题。


考虑一对质点a和b,彼此之间有沿着连线的保守力作用,选择另一个位置O作为原点,计算二者之间的保守力对彼此做功,

两个质点相互作用,设a受到b的作用为  ,b受到a的作用为  ,二者都产生位移,则这一对力做功之和为 根据 则有 根据矢量的加法,  表示a相对b的位置。可见:一对力做功之和等于以其中一个质点为参考点时,力对另一个质点所做的功


回头看看第一节中那几个典型的力做功的计算问题,其实我们计算的本来就是作用双方对彼此做功之和,因为我们都是以其中一个施力物体质点作为参考点。


因此,上面问题的答案是肯定的。


想想重力势能的表达式  ,这个  总是相对地球上某个位置来说的,通常是地面,这说明我们熟悉的重力势能本身就是地球和重物所共有的。


现在更明白了,既然你常用的重力,弹力和万有引力的势能的计算方法本来就将双方的贡献都考虑了,在将其中某一方隔离开的时候,你还能继续使用势能的概念吗?当然不行啦!



1


08 


保守力与能量守恒 


以上讲那么多,好像还没说到“保守力”的意思,“保守”二字到底什么意思呢?


如果只是从字面来解释,英文 conservative 意思是“保守的”,是指一种不变的性质,即换不同的路径,力做功保持一致。


但保守力的内涵不止如此!


在引入势能后,系统的保守力内力做功导致势能变化,总是满足 而根据系统的动能定理,内外力做功之和为动能的增量,即 其中 以上三式联合得 其中  表示动能与势能之和。这说明,只有外力和非保守内力才会导致系统的能量发生改变。若系统不受外力,则非保守力是导致系统能量改变的原因。换句话说,如果只有保守力做功,系统的能量守恒。


这应该才算是保守力和非保守力最重要的性质,即:保守力不改变系统的能量,而非保守力改变系统的能量。


诸君现在大概能体会“保守”二字的意思了,保守 Conservative,除了“守旧的,不变的”的意思之外,还表示“守恒”,实际上,它的名词 Conservation,本来就是“守恒”的意思,例如守恒律:Conservation Law,包括能量守恒定律。


且慢!到底是能量守恒还是机械能守恒?


保守力不只局限于牛顿力学,每种保守力都保证它的势能与动能之间转换时,总量保持不变。一个体系如果涉及更多的保守力,则能量守恒的表述中所包含的能量的种类就相应增多。


例如,若你的系统中只有万有引力,则你的能量守恒律只是机械能守恒定律,而若你的系统中还有静电场力,那么你的能量守恒就是指机械能与电势能的总体守恒。


而如果你的系统中本来有某种保守力,但你没有考虑,那么你就会得出能量不守恒的结论,实际上它是守恒的。若你将世界上所有已知保守力都考虑了,那么你更容易得到一个能量守恒的系统。


这种内部作用力都是保守力的系统称为保守系统,它的能量守恒。


当然,如果你考虑一个孤立系统,它的总能量一定是不变的,但这并非意味着你知道体系含有多少能量,实际上系统内到底有哪些能量,你都并不确定,只是基于“孤立”二字的涵义,加上“能量既不能被创造,也不能被消灭”的理念,人们相信总的能量守恒,但若系统内部有热产生,它就不是一个保守系统。



1


09 


到底什么是保守力? 


以上关于保守力性质所导致的问题讲的差不多了,现在终于可以聊聊保守力的本质问题了,到底什么原因导致了保守力?为什么有非保守力?


我们知道,自然界的一切力都是源于微观粒子之间的相互作用,这些作用通过粒子间的相互作用势  描述,它只与作用双方的相对位置有关。例如万有引力的势能函数就是一个例子。


由于  不含时间,则空间中的作用力与时间无关,这叫时间的均匀性,意思是说,无论什么时候去实验,所得的力学规律(比如牛顿方程)都是一样的,因此也叫物理规律的时间平移不变性


时间的均匀性会带来什么后果呢?举个例子来说明一下。


我们知道,地球表面的重力场是稳定的,所以仅考虑重力作用时,时间是均匀的。设想有一发电厂在用电低谷时,用水泵从河里抽一定量的水(质量  )到水塔(高  )上去,待用电高峰时放水发电。


在不考虑能量损失的理想情况下,由于时间的均匀性,所消耗的能量总是  。若时间不均匀,那么总能找特定时间抽水,使消耗的能量尽可能的少一些,但得到的电能却没有减少!这显然违背了能量守恒的规律。


也就是说,若相互作用不随时间变化,即时间的均匀性,必然导致能量守恒。实际上,根据守恒律与对称性,可从理论上推得这一结论,这里就不介绍了。


从这个意义上说,所谓保守系统能量守恒,就是时间的均匀性所导致的,是一种时空的对称性的结果。


讲到这里,一向爱思考的麦迪的问题来了,一起来看看他和我的对话。


按你这种思路下去,那就没有非保守力的事了,能量应该总是守恒的啊!

是的,从微观的角度讲,的确是这样!但这次,我想抬杠的是:能量难道不守恒吗?

呃......守恒?

问你两个问题,一,通常什么情况下,我们会得出能量不守恒的结论?第二,为什么我们会认为不守恒?

第一个问题很好回答:有热产生的情况下!比如炸弹爆炸,物体碰撞,摩擦生热等等;第二个问题也挺好回答:因为热不属于机械能,而我们只考虑机械能啊!

嗯,不错!若你把热都算进去,系统能量不就守恒了嘛!

是的!但问题是,这样就破坏了“动能和势能组成机械能”的设定了!

可是,为什么要固守机械能这个观念呢?上面一节不是说了嘛,保守系统的能量不局限于机械能。

那总得必须是势能或者动能吧?难道热能也属于这二者中之一?

不错!问到点子上了!


的确,热能本质上就是一种动能,还记得中学物理学的那句话吗?

温度是大量分子做无规则热运动的平均动能的标志。

热能本质上就是动能。确切的说,不光有动能,热能还包含分子之间的相互作用的势能,也就是说,热能和机械能一样,也是动能和势能加起来得到的东东!


因此可以说:机械能是宏观的动能和势能,而热能是微观的动能和势能!


听到这里,麦迪看起来挺高兴,他又要和我讨论了。


按你的意思,所有像爆炸、碰撞这些过程,如果深入其内部看,能量其实是不变的?

差不多是这个意思,不光如此,生物的、化学的变化也一样。

就是说所有的能量其实都可归于动能和势能?

嗯,没错!

咦?那这些过程的力本质上也应该是保守力了?既然总能量都守恒!

微观上可以这么说,但宏观上,这些力不是保守力。

此话怎讲?

因为宏观系统不满足时间反演不变性。


听我这么说,麦迪又懵了。


其实,保守系统除了具有时间平移不变之外,还有一个性质,那就是时间反演不变性。换句话说,力学规律在时间取反后保持不变,以牛顿方程为例 

现在将时间反号,即  ,因为保守力与时间无关,所以左边不变;而右边的分母反号,但其分子上的动量因为与速度有关,也反号,这保证右边不变,方程保持不变。


你可能会问:对时间平移不变性,你讲了一个抽水的例子,我懂了个七七八八,但这时间反演不变性为何也是必须的呢?


这实际上关系到对称性的概念,之所以叫不变,就是我们看不出有什么变化,或者认为是合理的。例如一个单摆从左摆到右,有人拍下来,倒放给你看,你看不出是在倒放。这说明,质点或者微观粒子的运动本来就应该满足时间反演不变性,否则就与我们人的直觉不一致。


说到这里,有的人可能会问:牛顿定律不是只适用于宏观体系吗?现在你拿它来说明微观体系满足时间反演不变性?


这个问题问的很好!但牛顿定律的研究对象都是质点,即有质量没大小的点,没有内部结构,其内部的组份不参与任何作用,不是“由大量粒子构成的热力学系统”,不是宏观体系。


当然,此处直接抛出“微观体系的力学规律都满足时间反演不变性”的观点,理由的确不充分,毕竟需要量子理论才能真正说明这一点。但量子理论的确满足时间反演不变性。


目前发现,所有的微观过程中,只发现  介子在弱作用下的衰变破坏了时间反演不变性,足见“时间反演不变性”的规律还是非常可靠的。


麦迪有点迫不及待了,又向我抛出问题。


你的意思是,这些过程不满足时间反演不变性,所以那些力就不是保守力了?

没错!

但系统的总能量却是守恒的哦!不矛盾吗?

不矛盾,这是一切宏观的热力学过程所具有的性质!它不再是保守系统了。

啊!你要跟我扯热力学第二定律吗?

那倒不是,但的确与它有关。宏观过程虽然能量守恒,但具有方向性,所以系统变成非保守的了。

哦,那微观时的可逆性,到宏观时,为什么就这样没了呢?

这个属于统计物理的问题,后面有机会再讲。


是的,就像麦迪同学和我讨论的那样,与微观过程的可逆性不同,宏观过程是不可逆的。微观时的保守力的集体作用,在宏观过程中变成了非保守力。


这些非保守力消耗动能,产生热并散失掉,且过程不可逆,因此这些力被叫做耗散力。耗散力与速度有关,根据牛顿方程 左边的力如果与速度有关,时间反演后,变为  ,但右边不变,因此规律变了,这就导致系统不再具有可逆性。


虽然这些过程的总能量守恒,但是能量转换不可逆,这背后是热力学第二定律在起作用,需要用概率统计来解释,这里就不扯太多了。


最后一个问题:有没有不属于耗散力的非保守力?


有,典型如洛伦兹力,其表达式为 

因为洛伦兹力与速度有关,本身就不构成矢量场。虽然它对任意闭合路径做功为零,但不是保守力。 


当时间取反时,速度和磁场都反向,所以洛仑兹力具有时间反演不变性,这使得它的牛顿方程是可逆的。



1


10


总结 


好了,该讲的都讲了,总结一下。


a. 保守力  是指做功与路径无关的力,它在数学上还有三个等价的定义,即1)  沿任意闭合路径做功为零的力,2)  是全微分的力,3) 旋度为零的力。


b.  每个保守力都对应一种势能函数  ,保守力做功与势能变化的关系是 c. 选择零势能参考点后,空间任一点a的势能就确定了,即 势能是系统内成员共有的,因此保守力一般都是内力。


d. 保守力是它的势能的负梯度,即 用梯度算符表示为 e. 在力学范围内,只有保守力做功时,系统机械能守恒。如果保守力超出力学范围,则能量守恒依旧成立,但势能必须包括那些新的保守力的势能。而若涉及到热能,虽然总能量守恒,但系统不再是保守系统。


f. 从微观本源上说,自然界的力都是保守力,保守力之所以不改变系统的能量,是由时间平移不变性导致的。此外,保守力还满足时间反演不变性。


g.  之所以出现了非保守力,是因为宏观系统的一切过程都不可逆,出现了耗散力,这使得能量转化不可逆,这是热力学第二定律所导致的。



END


微信号:wuliboke

请分享给您的朋友,谢谢!


拒绝花里胡哨的浮夸和说教,用最简单的文字,写最朴实的心得,让您有所收获!

您可能也对以下帖子感兴趣

文章有问题?点此查看未经处理的缓存