北师大版九上数学2.5 一元二次方程的根与系数的关系 知识点精讲
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知识点总结
一、一元二次方程根与系数的关系
（1） 若方程ax2 bx c 0 (a≠0)的两个实数根是x1，x2，
则x1+x2= -bc，x1x2= aa
（2） 若一个方程的两个根为x1,，x2，那么这个一元二次方程为
ax2 x1 x2 x x1x2 0 (a≠0)
（3） 根与系数的关系的应用：
① 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；
② 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.
③ 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值，如；
④ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.
二、解一元二次方程应用题：
它是列一元一次方程解应用题的拓展,解题方法是相同的。其一般步骤为：
1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知
数的代数式表示题目中涉及的量；
2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；
3．解：解所列方程，求出解来；
4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；
5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。
一元二次方程的练习题
1、 若关于x的二次方程(m+1)x-3x+2=0有两个相等的实数根，则m=__________
22、 设方程x 3x 4 0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=________，x1·x2=__________ 2
x1+x2=_________，（x1-x2）=__________，x1+x1x2+3x1=____________
23、 若方程x-5x+m=0的一个根是1，则m=____________
24、 两根之和等于－3，两根之积等于－7的最简系数的一元二次方程是_____________
25、 若关于x的一元二次方程mx+3x-4=0有实数根，则m的值为______________
226、 方程kx+1=x-x无实根，则k____________ 2222
导学案
【学习目标】
1、学会用韦达定理求代数式的值。
2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。
3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。
4、能应用韦达定理分解二次三项式。
【内容分析】
韦达定理：对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根x,x，那么x+x=-b/a,x×x=c/a
说明：（1）定理成立的条件b-4ac≥0
（2）注意公式x+x=-b/a中的负号与b的符号的区别
根系关系的三大用处：
一、计算对称式的值
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
【练习】
1．设x，x是方程2x－6x＋3＝0的两根，则x＋x的值为_________
2．已知x，x是方程2x－7x＋4＝0的两根，则x＋x=____，x·x＝____，（x1－x2）＝____
3．已知方程2x－3x+k=0的两根之差为2，则k=___;
4．若方程x+(a－2)x－3=0的两根是1和－3，则a=____;
5．若关于x的方程x+2(m－1)x+4m=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为__ ;
二、构造新方程
理论：以两个数x,x为根的一元二次方程是x-(x+x)x+xx=0。
例解方程组 x+y=5
xy=6
解：显然，x，y是方程z-5z+6＝0 ① 的两根
由方程①解得 z=2,z=3
∴原方程组的解为 x=2,y=3
x=3,y=2
显然，此法比代入法要简单得多。
三、定性判断字母系数的取值范围
【典型例题】
已知关于x的方程x-(k+1)x+k+1=0，根据下列条件，分别求出k的值．
(1) 方程两实根的积为5；
(2) 方程的两实根x,x,满足∣x∣=x．
分析：
(1) 由韦达定理即可求之；
(2) 有两种可能，一是x=x＞0，二是-x=x，所以要分类讨论．
说明：
根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足b-4ac≥0。
习题精析
例题1
例题2
例题3
例题4。已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0
（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.
（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值.
若α、β是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，那么α2+2α-β的值是（ ）
解析：
若实数a≠b，且a，b满足a2-8a+5=0，b2-8b+5=0，则
解析：
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