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投票悖论，有些事只是看上去很美

张是之 奥派经济学 2024-03-08
文 | 张是之
今天是年前做的最后一期直播，讲了讲阿罗不可能定理的推导过程，这里再简单梳理分享一下。
结论其实很简单，它可以让你明白，投票，最后可能只剩下看上去的美好。
1、什么是阿罗不可能定理？
简单来说，阿罗通过数学推理证明，如果按照一般少数服从多数的投票规则，不可能得到让所有人都满意的结果。
这个定理也可以称为“投票悖论”，它的理论源头其实可以向上追溯到，十八世纪法国数学家和哲学家孔多塞，所以也称为“孔多塞悖论”。
这个“投票悖论”说的再细一点就是，“个体偏好”无法通过投票的方式形成一个“群体偏好”。
比如作为个体有的人喜欢蓝色，有的人喜欢红色，但是作为群体，无法像个体那样呈现出一个一致的偏好。
也就是，当群体作为一个整体，要求大家必须喜欢红色的时候，那些喜欢蓝色的人必然会感到忧伤。

（马奎斯·孔多塞）
2、阿罗不可能定理的推导过程
下面我对这个“投票悖论”做一个极简的推理，这也是我在直播时做的讲解。
首先我们假设几个“个体偏好”，这个假设十分随机，也就是你把这几个人的偏好随便换都无所谓，只要不一样就行。
我们以球类运动为例，个体偏好是这样的：
张三：足球>篮球>排球李四：篮球>排球>足球王五：排球>足球>篮球
这个时候，张三、李四、王五都是独立的个体。那么，我们想知道的是，这三个人组成的群体、社会，它有没有自己的“偏好”？
或者说，换个角度，我们希望这个群体有一个明确的偏好，能够一致行动，那么我们该采取什么样的手段，用什么样的决策方式，达到这个目的。
最常见的方式就是投票，每人一票，然后少数服从多数，这对大家都很公平，对不对？
好，那我们现在就看下会出现什么情况。
既然要形成一个群体偏好，那就只能在三种球中选出大家都认可的一种球。
如果直接三选一，结果张三、李四、王五都选各自最喜欢的，结果就是各玩各的，没有达成一致意见。所以这个方法不行。
那么我们改进一下选择方式，通过两轮选择，第一轮2选1，然后第一轮胜出的那个结果，再和另外一个选项进行PK。
两轮PK才出结果，还是每人一票，少数服从多数，这很公平，是不是？
但是这个时候，有个小问题，那就是三种球的出场顺序有几种不同的变化，我们分别来看下。
方便大家理解，我把上面的个体偏好再列个表放这。
第一种：足球和篮球先PK，结果是足球胜出，然后足球和排球再PK，最后排球胜出。
第二种：足球和排球先PK，结果是排球胜出，然后排球和篮球再PK，最后篮球胜出。
第三种：篮球和排球先PK，结果是篮球胜出，然后篮球和足球再PK，最后足球胜出。
投票过程严格遵循一人一票，同时少数服从多数，但是仅仅因为出场顺序的不同，最终结果却不同。
无论是哪两种球先出场，都没有在最后的PK中胜出。三种出场顺序，得到了三个结果。
也就是说，至少用这种投票方式，我们无法从个体偏好得到一个群体偏好。
也可以说，一人一票，一个选项一票，最后选来选取最终是没有固定的结果。
或者还可以说，如果作为一个群体（社会）非要让大家都去踢球，那么必定会有人因此受到伤害。

（我的直播讲解图）
3、“投票悖论”动摇了“德先生”的根基
“阿罗不可能定理”，由肯尼斯·约瑟夫·阿罗证明，这个定理是社会科学中最大的悖论之一。
当你知道了这个定理，后面再有人跟你说投票的好处，或者集体利益多么好时，你应该问问他是否知道“阿罗不可能定理”。
这个定理简单来说，我们无法从个体的偏好顺序，得出群体的偏好顺序。
复杂一点，阿罗用严格的数学方法证明了，没有一个投票决策系统能同时满足这四个条件：确定性、不相关选择的独立性、没有独裁者以及传递性。
其中所谓确定性，是指最后目标是由一个固定的偏好结果出现，不存在循环。
不相关选择的独立性，是指跟现有选项无关的内容，不能干扰群体偏好，比如足球篮球排球出现的顺序对结果没有影响。
这里的独裁不是那个意思，而是说，投票的结果实际上会与投票人中某一个人的偏好完全一致。
无论其他投票人如何改变自己的投票方案，都无法改变最终的投票结果，这个独裁者（决定者）隐藏在投票人之中，甚至他自己都不清楚自己是那个关键人物。
传递性，是说群体偏好也不能违背全体个体的一致选择。也就是说，如果现在所有人都认为足球 好于篮球，那你群体必须认为足球好于篮球。
它的悖论在于，我们想通过投票得出一个综合偏好结果，但最终结果只取决于某个关键个人的选择。
也就是说，我们无法找到一种完美合理的投票方案，来符合所有人的意愿。
所以说，阿罗不可能定理动摇了“德先生”的根基，让投票这事只是看上去很美。

（1972年，阿罗获得诺贝尔经济学奖）


4、奥地利学派视角下的阿罗不可能定理
阿罗不可能定理给出了一个非常强有力的论证，证明很多时候投票不靠谱，无法得出符合绝大多数人利益的最优解。
奥地利学派在这个问题上，应该说一开始在根基上就有非常明确的答案。
奥地利学派的两大特点或者说两大基础，方法论的个体主义和主观价值论。
只有个人才能决策，价值是主观的，人际间无法进行量化和加总。
所以，如果没有明确的产权人，任何以集体的名义进行的活动，都不可能同时满足所有人的偏好。
但是如果有明确的产权人，很多事情不需要投票就可以确定。
同时当产权人是明确的，即便是需要投票的场合，也会因为有一个权重最大的投票者，就可以解决阿罗的投票悖论问题。
一个国家的“德先生”Democracy，很多时候就是一个公地悲剧。
要么是没有产权的人决定一些事，造成公地悲剧。
要么就是部分产权人，越权去决定另外一部分产权人的事，张三和李四商量，怎么花王五的钱，去办赵六的事，结果就是侵权。
所以核心的问题还是在于，很多问题其实不是投票问题，而是产权问题。
最近一直在关注阿根廷，翻下拉美历史，拉美陷阱的源头，实际上是从他们投票权的扩大开始的。
后面有机会再聊，年后开始和老贾直播精读米塞斯的《人的行动》，敬请期待。
2024年02月04日
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延伸阅读：比特币有没有违反米塞斯的“回溯定理”？
《人的行动》精读讲义还在出版社排队，我的书也要年后才能发货了。
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