作者：Erik Kersten

翻译：Tony&小河

拼图设计：小河

1971年5月，埃舍尔完成了他的最后一幅镶嵌作品 ---- 用印度水墨和水彩画的一个人物，他把这个人物称作“小幽灵”。这是他笔记本上众多镶嵌画作的最后一幅。但这也是一张非凡的创作。

1962年，英国数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）前往荷兰，拜访了住在巴伦的埃舍尔。 彭罗斯在1954年的国际数学大会（International Mathematical Congress）上看到埃舍尔的作品，两人就这样认识了。1960年，他们开始互通信件，并促成了埃舍尔创作木版画《上升与下降》。在彭罗斯的职业生涯中，他始终沉迷于镶嵌图形，这是他和埃舍尔共同的兴趣。 彭罗斯曾收到了埃舍尔的一幅画，作为回赠，他送给埃舍尔一套木板拼图，基本图形只有一个：一个菱形的变形图案。 菱形的两条边被切割出一个60度/120度的梯形形状，如图所示。这些基本图形可以随意拼合，但有且只有一种独特的方式可以将它们全部组合起来，形成一幅镶嵌图案。埃舍尔得到拼图后，为此困惑了好一阵子，直到几个星期后，他才给彭罗斯写了一封信，概述了他的解决方案。在信中，埃舍尔表达了他的惊讶，因为这些图案只能以一种方式组合在一起。这和他多年以来的对镶嵌图形的理解背道而驰：他一直认为通过各种各样的平移和反射，一幅镶嵌图案可以无限期地继续下去。这一次他的想法受到了挑战。

埃舍尔没有就此停止，彭罗斯图案带给创作的灵感，他希望演绎出自己的版本。在给彭罗斯的一封信中，他设计出了自己的图案，并把它称作“小幽灵”。又过了几年，直到1971年5月的时候，埃舍尔才利用这个基本图案来制作出一幅镶嵌画。这是一个极为独特的镶嵌作品，作品中的镶嵌图案只能以唯一的模式组合，同时，这也是埃舍尔的最后一幅作品。

彭罗斯也没闲着。他一直都试图设计一种镶嵌的方案，使之永远不会出现平移重复。很长一段时间以来，人们都认为如果以一种有序的模式填充无序的表面，必然会出现重复。直到20世纪50年代，所有的数学家都是这么认为的。然而，随着数学家对此问题逐步深入的探索，人们开始意识到，存在非周期性镶嵌的可能。1958年，罗杰·彭罗斯和他的父亲莱昂内尔·彭罗斯为英国《新科学家》（New Scientist）杂志的圣诞特刊写了一篇关于这个问题的文章。在文章中，他们鼓励读者去思考这些基于七种不同形状的特殊镶嵌问题。

1974年，彭罗斯发明了一种只有两种基本形状的非周期性镶嵌方案。他称这两个图案为飞镖和风筝。 它们通过最明显的方式就能拼在一起，形成一个菱形。 但是，如果你想创造一个非周期性镶嵌，就不能以这么拼接。下图中的弧线指示了拼接规则：弧线段必须连在一起。 后来人们发现，这些非周期性的镶嵌可以通过第二种形状来创建: 一个锐角菱形和一个钝角菱形，角度分别为(36, 144)和(72, 108)，即所有的角的度数必须是36的倍数。 在彭罗斯拼图中，飞镖与风筝的比例以及锐角与钝角的比例总是相同的，这个数值就是黄金分割比例——1:1.618。 换句话说，如果一个彭罗斯拼图包含100个飞镖，它将包含162个风筝。 数字越大，比率越接近黄金分割比率。

牛津大学数学西门口的彭罗斯不规则镶嵌瓷砖

科学记者马丁·加德纳（Martin Gardner）在《科学美国人》(Scientific American)上的两篇专栏文章都是关于非周期性镶嵌的。1988年，这些专栏文章，包括关于彭罗斯的专栏，均被收录到《从彭罗斯瓷砖到暗门密码》（Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers）一书中。

数学杂志《尤里卡 Eureka》于2012年重刊了彭罗斯首发于1979年的文章《复杂的五边形》，描述了他对非周期性镶嵌的研究。网上可以下载到这本期刊

在2007年2月出版的《科学》杂志上，彼得·卢（Peter Lu）和保罗·斯坦哈特（Paul Steinhardt）发表了他们对中世纪早期伊斯兰艺术模式的研究。 他们发现，这些数个世纪前的艺术创作就已经包含了具有非周期性镶嵌。 其中一个例子是15世纪伊斯法罕（伊朗城市）的达比伊玛目（Darb-i Imam）墓园的拱门。它是用瓷砖加马赛克来装饰的，瓷砖的排列井然有序，但没有出现平移重复。尽管科学家们还不清楚古代的工匠们是从什么时候开始使用这样的图案来作建筑装饰，但可以肯定的是，这些模式直到几百年后才在西方被发现。

彼得·卢和保罗·斯坦哈特在伊斯兰装饰图案中，发现了五种独特的瓷砖单元，称之为“肌理瓷砖”（Girih Tiles）。在当时可能每个从事建筑装饰的工匠那儿都有这种瓷砖单元。它们分别为菱形，弓形，正十边形，正五边形和不规则六边形。使用这些肌理瓷砖可以创造出周期性和非周期性镶嵌。 这五种砖的边长都一样。工匠们按照一定的规律去加以组合，并排列出来优美而独特的图案。

- 相关视频 -

The Art of The Impossible 彭罗斯与埃舍尔的数学缘

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Animated Penrose Tiling - 怎么用非周期性的多边形实现平铺

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