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八年级数学下全册教案
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16.1.1  二次根式

教案序号:1  时间:

教学内容

    二次根式的概念及其运用

教学目标

    理解二次根式的概念,并利用

(a≥0)的意义解答具体题目.

    提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.

教学重难点关键

    1.重点:形如

(a≥0)的式子叫做二次根式的概念;

    2.难点与关键:利用“

(a≥0)”解决具体问题.

教学过程

一、复习引入

    (学生活动)请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题:

二、探索新知

    很明显

都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子,我们就把它称二次根式.因此,一般地,我们把形如

(a≥0)的式子叫做二次根式,

称为二次根号.

    (学生活动)议一议:

    1.-1有算术平方根吗?

    2.0的算术平方根是多少?

    3.当a<0,

有意义吗?

    老师点评:(略)

 

17.1  勾股定理(一)

教案总序号:10  时间:

一、教学目的

1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。

2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。

二、重点、难点

1.重点:勾股定理的内容及证明。

2.难点:勾股定理的证明。

三、例题的意图分析

例1(补充)通过对定理的证明,让学生确信定理的正确性;通过拼图,发散学生的思维,锻炼学生的动手实践能力;这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。

例2使学生明确,图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。

四、课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前,是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2

对于任意的直角三角形也有这个性质吗?

五、例习题分析

例1(补充)已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证:a2+b2=c2

分析:⑴让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸,让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示,其等量关系为:4S+S小正=S大正  

ab+(b-a)2=c2,化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。

⑷ 勾股定理的证明方法,达300余种。这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。

例2已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证:a2+b2=c2

分析:左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。

左边S=4×ab+c2

右边S=(a+b)2

左边和右边面积相等,即

ab+c2=(a+b)2

化简可证。

六、课堂练习

1.勾股定理的具体内容是:                                                    

2.如图,直角△ABC的主要性质是:∠C=90°,(用几何语言表示)

⑴两锐角之间的关系:                     

⑵若D为斜边中点,则斜边中线              

⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边:               

⑷三边之间的关系:                     

3.△ABC的三边a、b、c,若满足b2= a2+c2,则        =90°; 若满足b2>c2+a2,则∠B是         角; 若满足b2<c2+a2,则∠B是         角。

4.根据如图所示,利用面积法证明勾股定理。

七、课后练习

1.已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则

⑴c=               。(已知a、b,求c)

⑵a=               。(已知b、c,求a)

⑶b=               。(已知a、c,求b)

2.如下表,表中所给的每行的三个数a、b、c,有a<b<c,试根据表中已有数的规律,写出当a=19时,b,c的值,并把b、c用含a的代数式表示出来。

 

3、4、5

32+42=52

5、12、13

52+122=132

7、24、25

72+242=252

9、40、41

92+402=412

……

……

19,b、c

192+b2=c2

3.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=cm,一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动,问当P点移动多少秒时,PA与腰垂直。

4.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D在CB的延长线上。

求证:⑴AD2-AB2=BD·CD

⑵若D在CB上,结论如何,试证明你的结论。

八、参考答案

课堂练习

1.略;

2.⑴∠A+∠B=90°;⑵CD=AB;⑶AC=AB;⑷AC2+BC2=AB2

3.∠B,钝角,锐角;

4.提示:因为S梯形ABCD = S△ABE+ S△BCE+ S△EDA,又因为S梯形ACDG=(a+b)2

S△BCE= S△EDA= ab,S△ABE=c2(a+b)2=2× ab+c2

课后练习

1.⑴c=;⑵a=;⑶b=

2. ;则b=,c=;当a=19时,b=180,c=181。

3.5秒或10秒。

4.提示:过A作AE⊥BC于E。

课后反思:

 

17.1  勾股定理(二)

教案总序号:11  时间:

一、教学目的

1.会用勾股定理进行简单的计算。

2.树立数形结合的思想、分类讨论思想。

二、重点、难点

1.重点:勾股定理的简单计算。

2.难点:勾股定理的灵活运用。

三、例题的意图分析

例1(补充)使学生熟悉定理的使用,刚开始使用定理,让学生画好图形,并标好图形,理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中,已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。

例2(补充)让学生注意所给条件的不确定性,知道考虑问题要全面,体会分类讨论思想。

例3(补充)勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此注意要创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用,提高综合能力。

四、课堂引入

复习勾股定理的文字叙述;勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。

五、例习题分析

例1(补充)在Rt△ABC,∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2, 求b。

⑶已知c=17,b=8, 求a。

⑷已知a:b=1:2,c=5, 求a。

⑸已知b=15,∠A=30°,求a,c。

分析:刚开始使用定理,让学生画好图形,并标好图形,理清边之间的关系。⑴已知两直角边,求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边,求另一直角边,用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比,求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中,已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系,也可以求出未知边,学会见比设参的数学方法,体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2(补充)已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。

分析:已知两边中较大边12可能是直角边,也可能是斜边,因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面,体会分类讨论思想。

例3(补充)已知:如图,等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。                                       

⑵求S△ABC

分析:勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此注意要

创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做

法。欲求高CD,可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中,

但只有一边已知,根据等腰三角形三线合一性质,可求AD=CD=AB=3cm,则此题可解。

六、课堂练习

1.填空题

⑴在Rt△ABC,∠C=90°,a=8,b=15,则c=       

⑵在Rt△ABC,∠B=90°,a=3,b=4,则c=       

⑶在Rt△ABC,∠C=90°,c=10,a:b=3:4,则a=       ,b=       

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为             

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为             

⑹已知等边三角形的边长为2cm,则它的高为        ,面积为          

2.已知:如图,在△ABC中,∠C=60°,AB=,AC=4,AD是BC边上的高,求BC的长。                           

3.已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。

七、课后练习

1.填空题

在Rt△ABC,∠C=90°,

⑴如果a=7,c=25,则b=       

⑵如果∠A=30°,a=4,则b=       

⑶如果∠A=45°,a=3,则c=       

⑷如果c=10,a-b=2,则b=       

⑸如果a、b、c是连续整数,则a+b+c=          

⑹如果b=8,a:c=3:5,则c=         

2.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,      

AB⊥AC,∠B=60°,CD=1cm,求BC的长。

八、参考答案

课堂练习

1.17;  ;  6,8;  6,8,10;  4或;  

2.8;        3.48。

课后练习

1.24;  4;  3;  6;  12;  10;      2. 

课后反思:


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