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手把手教你使用Numpy、Matplotlib、Scipy等5个Python库

南裕树 大数据DT 2022-10-26

导读:用Python设计控制系统,你会用到接下来要介绍的几个模块:Numpy、Matplotlib、Scipy、Sympy和Python-Control。


作者:南裕树(Yuki Minami)
来源:大数据DT(ID:hzdashuju)




01 Numpy

Numpy是用于数值计算的基础包。

使用Numpy可以高速高效地进行各种数值计算、统计处理以及信号处理。


import numpy as np


加载Numpy模块后,就可以使用平方根(np.sqrt)、绝对值(np.abs)、三角函数(np.sin、np.cos、np.arcsin、np.arccos)、指数(np.exp)、对数(np.log、np.log10)、四舍五入(np.round)等基本的数值计算用的函数了。

此外,弧度(rad)和角度(deg)换算的函数np.rad2deg也包括在内,还可以使用圆周率(np.pi)。

复数通过在虚部后面添加j来表示。可以使用np.imag来取出虚部。同样,可以使用np.real来取出实部,用np.conj来求得共轭复数。

还可以进行向量和矩阵运算。可以使用np.array来定义向量和矩阵。


A = np.array([ [12], [-34]])
print(A)


[[ 1  2]
 [-3  4]]


可以使用T方法来求得转置矩阵。

print(A.T)

[[ 1 -3]
 [ 2  4]]

可以使用np.linalg.inv来求得逆矩阵。

B = np.linalg.inv(A)
print(B)

[[ 0.4 -0.2]
 [ 0.3  0.1]]

可以像下面这样进一步求得矩阵对应的行列式的值、矩阵的秩、特征值以及范数。

np.linalg.det(A) #行列式

10.000000000000002

np.linalg.matrix_rank(A) #秩

2

w, v = np.linalg.eig(A) #特征值和特征向量
print('eigenvalue=',w)
print('eigenvector=\n',v)

eigenvalue= [2.5+1.93649167j 2.5-1.93649167j]
eigenvector=
 [[0.38729833-0.5j 0.38729833+0.5j]
 [0.77459667+0.j  0.77459667-0.j ]]

x = np.array([12])
print(x)
np.linalg.norm(x)

2.23606797749979

此外,还可以使用np.arange构建数列。

Td = np.arange(0101)
print(Td)

[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]

上例中构建了一个从0开始到10(不包含)为止,且间隔为1的数列。


02 Matplotlib

Matplotlib用于图形描绘,可以用它制作各种类型的图形和动画。绘图的具体例子可以参考它的主页:

http://matplotlib.org/gallery.html

可以像下面这样加载Matplotlib模块。

import matplotlib.pyplot as plt

让我们来看一个绘图的例子(见代码段2.1)。

  • 代码段2.1 绘图

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(04 * np.pi, 0.1)
y = np.sin(x)
plt.plot(x, y) #横轴使用x,纵轴使用y绘图
plt.xlabel('x'#设定x轴的标签
plt.ylabel('y'#设定y轴的标签
plt.grid() #显示网格
plt.show()

这样可以画出如图2.9所示的图形。

▲图2.9 使用matplotlib绘图的例子

如果需要对细节进行进一步的调整以做出更美观的图形,则仅仅这样还是不够的。此时需要如代码段2.2所示采用能够对细节进行调整的面向对象的绘图方式。

  • 代码段2.2 面向对象的绘图

fig, ax = plt.subplots() #生成Figure和Axes对象
ax.plot(x, y) #在Axes对象中生成图形
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.grid()
plt.show()

可以在Figure对象中生成Axes对象,并将数据传递给Axes对象的方法(.plot())来进行绘图。可以进一步使用Axes对象的方法(.set_xlabel()等)来对图形进行调整。虽然可以像代码段2.1这样,在没有明确地生成对象的前提下描绘图形,但是如果明确生成各个对象,就可以在绘图的同时对细节进行调整。例如,可以如图2.10所示,在Figure中生成两个Axes对象。

▲图2.10 在Figure中生成两个Axes对象

可以使用代码段2.3生成图2.11。

  • 代码段2.3 生成图2.11的代码

fig, ax = plt.subplots(2,1#设置2行1列的子图形

x = np.arange(04 * np.pi, 0.1)
y = np.sin(x)
z = np.cos(x)
w = y + z

#生成第一个图形
ax[0].plot(x, y, ls='-', label='sin', c='k')
ax[0].plot(x, z, ls='-.', label='cos', c='k')
ax[0].set_xlabel('x')
ax[0].set_ylabel('y, z')
ax[0].set_xlim(04*np.pi)
ax[0].grid()
ax[0].legend()

#生成第二个图形
ax[1].plot(x, w, color='k', marker='.')
ax[1].set_xlabel('x')
ax[1].set_ylabel('w')
ax[1].set_xlim(04*np.pi)
ax[1].grid(ls=':')

fig.tight_layout()

▲图2.11 绘制面向对象型的图形

图例可以通过在绘图时使用label = 'hogehoge'添加,并在最后通过ax.legend()输出。还可以使用类似x.legend(loc = 'best')这样的语句来指定图例的位置。指定位置时可以使用表2.1中的字符串或数值。

▼表2.1 指定图例位置时使用的字符串和数值


线的类型可以通过linestyle = '-'或者ls = '-'来设定。符号与线型的关系如下所示。

  • -:实线 
  • -.:点画线
  • --:虚线
  • ..:点线

线的粗细可以使用类似linewidth = 2或者lw = 2这样的代码来指定。线的颜色可以通过color = 'r'或者c = 'r'来指定。字符与颜色的关系如下所示。

  • b:蓝
  • g:绿
  • r:红
  • c:青
  • m:品红
  • y:黄
  • k:黑
  • w:白

记号的类型通过marker = 'o'来指定。部分记号的类型如下所示:

"."  ","  "o"  "v"  "^"  "<"  ">"  "1"  "2"  "3"  "4"  "8"
"s"  "p"  "*"  "h"  "H"  "+"  "x"  "D"  "d"  "|"  "_"  "$x$"

实际的显示效果(按照顺序)如图2.12所示。记号的大小可以像s = 10这样设定。

▲图2.12 记号的类型

可以使用fig.savefig("hogehoge.pdf")来保存图形。


03 Scipy

Scipy是用于数值计算算法的扩展包,提供了信号处理、优化和统计等功能的函数,还包含了控制系统分析和设计用的函数。这里介绍用于求解微分方程的odeint。

试求下述微分方程的数值积分:


假设输入为u(t):


代码段2.4的输出结果如图2.13所示。通过def定义微分方程system,并将其与初始值y0和时间t一起传递给odeint。

  • 代码段2.4 微分方程的数值积分



from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#定义微分方程
def system(y, t):
    if t < 10.0:
        u = 0.0
    else:
        u = 1.0

    dydt = (-y + u)/5.0 
    return dydt

#通过设定初始值和时间求解微分方程
y0 = 0.5
t = np.arange(0400.04)
y = odeint(system, y0, t)

#绘图
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(t, y, label='y', c='k')
ax.plot(t, 1 * (t>=10), ls='--', label='u')
ax.set_xlabel('t')
ax.set_ylabel('y, u')
ax.legend(loc='best')
ax.grid(ls=':')

▲图2.13 微分方程的数值计算


04 Sympy

Sympy是用于符号计算的模块。通过它可以把变量当作符号处理并进行各种计算。例如,可以进行表达式展开、因式分解、微分、积分甚至是拉普拉斯变换。

import sympy as sp 
sp.init_printing()
s = sp.Symbol('s')
root = sp.solve(2 * s**2 +5*s+3, s)
print(root)

[-3/2-1]

在上面的例子中,我们通过Symbol将变量定义为字符,使用solve求得方程的根。如果使用init_printing(),还可以输出LaTeX格式的结果。此时不要使用print,应直接输入root。

使用expand可以进行表达式展开,使用factor可以进行因式分解。

f = sp.expand( (s+1)*(s+2)**2, s)
print(f)

s**3 + 5*s**2 + 8*s + 4

g = sp.factor(f, s) 
print(g)

(s + 1)*(s + 2)**2

除了上面介绍的功能以外还有series(泰勒展开)、apart(部分分式分解)、laplace_transform(拉普拉斯变换)、inverse_laplace_transform(逆拉普拉斯变换)等功能。


05 Python-Control

本文通过实例介绍Python-Control函数。函数及其基本使用方法总结在表2.4~表2.8中,请读者在阅读过程中随时查阅。如果系统sys表示成以下形式:


那么num就表示[bm,...,b0],den就表示[an,...a0],k就表示k,z就表示[z1,...,zm,p就表示[p1,...,pn]。如果系统sys表示成以下形式:


那么A就表示A,B就表示B,C就表示C,D就表示D

可通过下述方法加载模块。

import control

也可以使用下述方法从模块中导入类MATLAB函数。

from control.matlab import *

▼表2.4 模型描述


▼表2.5 模型分析


▼表2.6 控制系统设计


▼表2.7 模型解析(from control import cannonical_form)


▼表2.8 控制系统设计(from control import mixsyn)


除了上面介绍的这些函数之外还有一些其他的方便实用的函数。

比如,求取根轨迹的函数rlocus、求取平衡降阶模型的函数balred、求解李雅普诺夫方程的函数lyap、用于H2控制系统设计的函数h2syn以及用于H控制系统设计的函数hinfsyn等。

详细内容可以参考Python Control Systems Library:

https://python-control.readthedocs.io/en/0.8.1/index.html

关于作者:南裕树(Yuki Minami),大阪大学大学院工学研究科机械工学专业教授,京都大学大学院情报学研究科博士。主要研究领域包含制造技术、系统工程、深度学习等。
本文摘编自《用Python轻松设计控制系统》,经出版方授权发布。(ISBN:9787111688112
《用Python轻松设计控制系统》
点击上图了解及购买转载请联系微信:DoctorData
推荐语:面向用Python进行控制系统设计的人,边学边用Python进行编程实践。重点阐述以状态空间模型为对象的现代控制系统的设计。全书分七章,包括: Pythhon环境的构建、数据和流控制、反馈控制、状态空间模型、闭环系统的控制设计、开环系统的控制设计、PID控制相位进延迟补偿,以及稳健性控制数字实现的高级控制系统设计。


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