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电子结构分析【02】——关于能带的那些事儿（下）

测试GO 测试GO 2023-01-04

‍上期推文我们介绍了能带图的横轴与纵轴的意义（点击查看→电子结构分析——关于能带的那些事儿（上））下面我们再来看一看，从能带图中我们可以分析出一些什么样的性质。



费米能级与导电性
我们通常看到的能带图，是E-k空间中的一大堆曲线，这些曲线上的每一个点，也就是每一个（E，k）点，都是一个电子所能取的态。由于泡利不相容原理，每一个这样的态上面只能被两个自旋相反的电子占据。而在基态的时候，电子会尽可能地占据能量最低的所有能占据的态，在这种情况下，会存在一个能级，它成为一个分界线，能量低于这个分界线的态全部被电子占据，能量高于分界线的态全部不被电子占据，这个分界线叫做费米能级（EF）。
有了费米能级的概念，接下来就是固体物理中的一个重要结论，结合费米能级和允带-禁带的结构，人们发现能带图有两种情况：
第一种，费米能级处于一个允带的半中腰，这时候就存在着一个允带有一部分能级被电子占据，一部分能级没有被电子占据。只要一个固体存在着这样一种半充满的允带，那么这种固体就是导体。这个半充满的允带就叫做导带。
第二种情况，费米能级刚好处于一个允带的顶端，这时候这个固体中的允带要么完全被电子占据，要么完全没有电子占据。这种情况下这种晶体就是绝缘体或者半导体。那些完全被电子占据的能级叫做价带。
 
图1 导体，绝缘体，半导体的能带结构

这里单独说一下半导体。半导体原本跟绝缘体一样，能带要么完全被占据，要么完全没有被占据。但问题是，半导体中能量最高的那个完全占据的能带，和能量最低的那个不被占据的能带，之间的禁带比较窄（通常小于2eV，但现在一些禁带3eV左右的体系也叫做半导体）。我们在讨论半导体的时候，一般所提到的价带，通常专指能量最高的那个全满能带，而导带则专指能量最低的空带，而禁带或者带隙，则专指半导体中价带与导带之间的那个禁带。
由于半导体的带隙比较窄，所以价带中的电子可能被热、光等方式激发到导带，使得两个能带都变成不全充满的能带，于是体系可以有一定的导电性，这就是“半导体”这个名称的来源。激发到导带的电子叫做自由电子，而由于有电子激发出去而在价带留下的“洞”被称为空穴。自由电子和空穴是半导体的两种导电方式。



直接和间接半导体
 
2a 导体
 
2b 直接带隙
 
2c 间接带隙
图2 不同类型的能带图实例
相对于图1的示意图，图2则是实际的能带图例子。由刚才的讨论我们发现，能带图的第一个用处是判断一个体系是导体还是绝缘体/半导体。除此之外呢，能带图还可以看到一个半导体的能隙是直接能隙还是间接能隙。我们看图2b和图2c，它们都是半导体，费米能级以上都有一个能隙，但他们有不同之处：图2b中间价带顶和导带底的k点位置（也就是横轴上的位置）是一致的，这种情况下，只需要有足够高的能量激发，电子就可以由价带到达导带。这种情况叫做直接带隙。
而图2c我们可以看到，价带顶和导带底的在横轴上的位置不同，也就是说，它们对应的k值不同，而k值对应着晶体动量。所以这时候从价带顶跃迁到导带底，就不仅仅要考虑能量守恒，还需要考虑动量守恒。而这个价带顶到导带底的动量差异通常是由声子填补的。在间接带隙的固体中，电子无论是从价带跃迁到导带，还是从导带回到价带，都需要同时接收相应能量的光子，和相应动量的声子。所以，间接带隙中间的空穴与自由电子无论是产生还是复合都比直接带隙困难得多。这是能带结构预测材料性质的又一个例子。



总结
综合以上内容，我们详细阐述了关于能带图的一些基本知识。能带图的横坐标是k，它正比于电子的晶体动量。纵坐标是电子的能量。从能带图可以看出电子可取的能量是不连续的，有允带，有禁带。由允带的填充状况可以判断材料是导体，绝缘体，还是半导体。而对于半导体来说，价带顶和导带底在k空间中的位置关系可以判断这个半导体的带隙是直接带隙还是间接带隙。关于能带还有一些知识，比如对于半导体来说，可以计算电子和空穴的有效质量，这些知识由于这里篇幅有限，就不做介绍了。我们下期再见~

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