学点概率：泊松分布的历史及应用

Original 王海华模型视角 2023-10-04

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泊松分布是一种重要的概率分布，它在许多领域，包括交通流量、服务系统、保险和排队论中具有广泛的应用。本文旨在探讨泊松分布的历史背景，并介绍其在不同领域的应用实例。

泊松分布

在19世纪初，法国军事领域对新兵被马踢伤的情况进行了统计。这是一个相对稀有的事件，但对于一个大军队来说，这种情况每年都会发生几次。当统计这种事件在不同军团中的发生次数时，西蒙·丹尼斯·泊松发现了一个有趣的现象：在给定的时间段内，某些事件的发生次数具有固定的概率分布。

具体来说，泊松注意到，虽然每个新兵被马踢伤的概率很小，但在大量的新兵中，这样的事件每年都会发生几次。他进一步发现，这种事件的发生次数可以用一个数学公式来描述，这就是现在我们称之为“泊松分布”的公式。

其中，是单位时间 (或单位空间) 内事件发生的平均次数，是在给定的时间间隔或空间区域内事件发生的实际次数，是事件恰好发生次的概率。

下面是泊松分布当取不同值时的分布图像。

泊松分布的关键特点是：它描述的是在固定的时间间隔或空间区域内，某个事件发生的次数的概率分布，而这个事件在每个小的时间间隔或空间区域内发生的概率是相同的。

泊松分布在许多现实生活的场景中都有着广泛的应用。比如泊松分布可以用来描述在特定时间间隔内通过特定点的车辆数量；用来模拟服务台的顾客到达情况；模拟在一定时间内发生保险索赔的次数；模拟顾客到达队列的情况。

举个具体例子。城市规划可能会使用流量数据来决定是否在某条道路上建立一个新的交通信号灯。描述车辆流量：在特定的时间间隔（例如，每小时）内通过某个特定点（例如，一个交通监测摄像头或一个收费站）的车辆数量可以用泊松分布来建模。

基中，是平均流量，即单位时间内通过的车辆平均数，是实际观察到的车辆数。

泊松分布是描述在固定时间间隔或空间区域内随机事件发生次数的概率分布。它是二项分布的一个特例，当试验次数趋向于无穷大，而事件发生的概率趋向于 0 ，但是保持为一个有限值时，二项分布趋向于泊松分布。我们从二项分布开始推导。

二项分布的概率质量函数为:

其中，是组合数，表示从个中选择个的方式数。

当趋向于无穷大，趋向于 0 ，但保持为一个有限值时，我们有:

代入二项分布的公式，我们得到:

为了简化这个表达式，我们可以分别考虑每一部分的极限。首先，我们考虑。由于而是固定的，我们有:

但是，当时，我们有。接下来，我们考虑。当趋向于无穷大时，我们有:

其中是自然对数的底。考虑。当趋向于无穷大时，我们有:

综上所述，我们得到:

这就是泊松分布的概率质量函数。

泊松分布是概率论和统计学中的基础分布之一。通过泊松分布，我们可以在多个领域中建立数学模型，以解决实际问题，提升系统效率。