学点几何 | 计算球面距离的哈弗塞恩公式
又到了国庆假期，在外打工的我难得的几次回家的机会之一。坐在飞机上，我开始思考从上海飞回家的距离，飞机需要飞多久才能到家呢？飞机又是如何飞的呢？这背后都与一个数学公式有关——哈弗赛恩公式。本文就来梳理一下和计算球面距离相关的内容。
1. 测量距离的历史
在古代，人们使用非常原始的方法来估算距离，如步行或骑马，并计算所需的时间。随着地图的发展和数学的进步，人们开始寻找更准确的测量方法。16世纪，随着大航海时代的到来，准确测量两地之间的距离变得非常重要。天文观测，特别是恒星的位置，开始被用来帮助航海家确定他们的位置。18世纪，随着三角测量法的发展，测量的准确性得到了极大的提高。20世纪，随着GPS技术的出现，我们可以非常准确地计算地球上任何两点之间的距离。
2. 哈弗赛恩公式
给定两个点的经度和纬度，我们可以使用哈弗赛恩公式来计算它们之间的距离。通过这种方式，航空公司可以确定两个机场之间的最短距离，这被称为大圆航线。
给定两个点的经度和纬度，我们可以使用哈弗赛恩公式来计算它们之间的距离：
基中 lat 和 long 分别是两点纬度和经度的差。 和 分别是第一个点和第二个点的纬度。 是两点之间的距离。 是地球的半径，约为6371公里。
地球不是完美的球体，这里为了简化计算，我们可以将其视为一个半径为R的球体。这样，地球上任何两点之间的距离都可以使用球面距离公式（哈佛塞恩公式）来计算。但要注意，这种方法只是给出两地之间的近似距离。
3. 实际应用：飞机航线选择
在飞机航线选择上，航空公司通常使用哈弗赛恩公式来确定两个机场之间的最短距离，这被称为大圆航线。这条航线是在地球表面上两点之间的最短路径。通过这种方式，航空公司可以节省燃料、时间和成本。
为了给大家一个直观的感受，我们将使用哈弗赛恩公式计算中国的四大城市：北京、上海、广州和深圳之间的距离。
四大城市间的距离 使用哈弗赛恩公式，我们可以计算北上广深之间的距离。
import math
# 定义哈弗赛恩公式函数
def haversine_distance(lat1, lon1, lat2, lon2):
R = 6371.0 # 地球半径，单位为公里
dlat = math.radians(lat2 - lat1)
dlon = math.radians(lon2 - lon1)
a = (math.sin(dlat / 2) ** 2 +
math.cos(math.radians(lat1)) * math.cos(math.radians(lat2)) *
math.sin(dlon / 2) ** 2)
c = 2 * math.atan2(math.sqrt(a), math.sqrt(1 - a))
distance = R * c
return distance
# 四大城市的经纬度
cities = {
"北京": (39.9042, 116.4074),
"上海": (31.2304, 121.4737),
"广州": (23.1291, 113.2644),
"深圳": (22.5431, 114.0579)
}
# 计算城市间的距离
distances = {}
city_names = list(cities.keys())
for i in range(len(city_names)):
for j in range(i+1, len(city_names)):
city1 = city_names[i]
city2 = city_names[j]
dist = haversine_distance(cities[city1][0], cities[city1][1], cities[city2][0], cities[city2][1])
distances[f"{city1}-{city2}"] = dist
distances
根据哈弗赛恩公式计算得到的四大城市间距离如下：
北京至上海：约1067.31公里 北京至广州：约1888.59公里 北京至深圳：约1943.14公里 上海至广州：约1211.89公里 上海至深圳：约1213.27公里 广州至深圳：约104.20公里
通常，一个商业喷气式飞机的巡航速度约为800-900公里/小时。知道了飞行距离和飞机的速度，我们就可以简单地计算出飞行时间。假设飞机的平均速度为850公里/小时，我们可以计算以下城市间的飞行时间：
北京至上海：飞行时间约为1.25小时 北京至广州：飞行时间约为2.22小时 北京至深圳：飞行时间约为2.28小时 上海至广州：飞行时间约为1.43小时 上海至深圳：飞行时间约为1.43小时 广州至深圳：飞行时间约为0.12小时
可以看到这里计算的时间比真实飞机飞行时间要长，因为没有考虑到飞机的起落时间、天气因素、交通管制等影响。
哎，似乎回家的路并不需要多少时间。飞机巡航在天空中，地球在脚下快速地掠过，所有的山川河流都变得如此渺小，而家，始终是那个不变的坐标。然而，尽管科技已经让距离变得如此短暂，为什么一年之中，我仍然回不了几次家呢？可能，真正隔在我们之间的，不仅仅是物理上的距离，还有生活的压力、工作的繁忙和那份对家的深深眷恋。每一次的思念，都让回家的脚步变得更为沉重。希望每一次的分别，都是为了更好的团聚。不过我还是马上要到家了啊！
祝大家国庆快乐！