数据包络分析(DEA)：效率比较，而且可以自动分配权重！
在对各种评价对象（如企业、项目、机构等）的效率进行评价时，一个直观且常用的方法是简单地采用产出与投入的比率。例如，一个公司可能会使用其总收入（产出）与其总成本（投入）之比来衡量其效率。然而，这种方法有一个明显的缺点：当我们面临多种输入和多种输出的情况时，如何为各个输入和输出分配恰当的权重成为了一个问题。此外，这种方法还无法处理非线性关系或受到外部因素影响的情况。面对这些挑战，学者们发明了数据包络分析（DEA）。与传统的效率评价方法相比，DEA的优势在于它可以处理多输入和多输出的情境，并自动为它们分配最优的权重，从而提供一个更全面、更准确的效率评价。
1. DEA 的基本概念
考虑有 个决策单元。每个决策单元 使用 种输入 (例如，盗本、劳动力) 产生 种输 出。
: 表示第 个决策单元的第 种输入量。 : 表示第 个决策单元的第 种输出量。
我们的目标是评估每个决策单元的相对效率。
2. DEA 的数学模型
2.1 基本模型
为了评估第 个决策单元的效率，我们可以使用以下线性规划模型：
约束条件为:
其中:
和 是权重，它们代表第 种输出和第 种输入的重要性。 代表第 个决策单元的相对效率。
2.2生产前沿线
在DEA中，生产前沿线(Production Possibility Curve,PPF)代表了最佳实践或最高效率的集合。具体来说，它是一个由那些效率达到最大的决策单元组成的集合。这些决策单元在给定的输入下能够产生最大的输出，或者在给定的输出下使用最少的输入。
生产前沿线上的决策单元被认为是有效的，因为它们与最佳实践相匹配或者已经达到了最佳实践。而生产前沿线以下的决策单元被认为是无效的，因为在同样的条件下，它们的效率没有达到最佳实践。
通过DEA模型，我们可以确定哪些决策单元在生产前沿线上，哪些决策单元在生产前沿线以下。此外，通过分析生产前沿线，我们还可以识别哪些决策单元具有潜在的改进空间，以及如何改进。
2.3 数学模型解读
目标函数：这里的目标函数试图最大化决策单元 的加权输出。权重 代表了每种输出的 相对重要性。因此， 可以被理解为决策单元 的总加权输出。
约束1：该约束确保了决策单元 的加权输入总和为 1 。这是一个标准化约束，它确保了在不同的决策单元之间进行比较时，模型的结果是可比的。
约束2：这个约束确保任何其他决策单元 的加权输出与加权输入之差不超过0。简单来说， 它确保了其他所有的决策单元的效率不超过被评估的决策单元 。如果 是有效的，那么它的效率会与生产前沿线相匹配或超过其他所有的决策单元。
约束3：权重必须是非负的，这确保了模型的实际意义和合理性。
DEA的数学模型是在没有明确的生产函数或效率标准的情况下，通过比较各个决策单元的相对效率来评估它们的效率。这种方法特别适用于多输入和多输出的情境。
如果 ，那么第 个决策单元是有效的；如果 ，那么第 个决策单元是无效的。
3. DEA 的应用
DEA 的主要优点是它不需要预先确定输入和输出的权重，而是根据数据来确定权重。这使得 DEA 特别适合于那些没有明确生产函数的情境，例如教育、医疗和公共服务。
3.1案例：医院效率评估
假设我们要评估三家医院的效率。每家医院的输入包括医生人数和医院开销，而输出则是每年的病人治愈人数。
| 医院 | 医生人数 (输入 | 医院开销(输入，单位: 百万) | 病人治舁人数(输出) |
|---|---|---|---|
| A | 10 | 5 | 1000 |
| B | 15 | 7 | 1300 |
| C | 8 | 4 | 800 |
我们希望使用DEA方法来评估这三家医院的效率。
求解：
为了评估医院A的效率，我们可以建立以下DEA模型：
约束条件为:
我们可以使用线性规划工具来求解上述模型，并获取权重 和 。然后，我们可以使用 相同的方法来评估医院B和医院C的效率。
3.2 代码实现
下面是python代码
import pulp
def DEA_evaluation(input_data, output_data, inputs, outputs):
"""
使用DEA方法评估决策单元的效率。
参数:
- input_data: 输入数据的字典。键是决策单元的名称，值是与指定输入相对应的列表。
- output_data: 输出数据的字典。与input_data格式相同。
- inputs: 输入的名称列表。
- outputs: 输出的名称列表。
返回:
一个字典，键是决策单元的名称，值是该决策单元的效率。
"""
# 获取决策单元的数量
n = len(input_data)
# 结果字典
efficiencies = {}
for dm in input_data.keys():
# 创建线性规划问题
prob = pulp.LpProblem("DEA", pulp.LpMaximize)
# 创建变量
v = pulp.LpVariable.dicts("v", inputs, lowBound=0)
u = pulp.LpVariable.dicts("u", outputs, lowBound=0)
# 创建目标函数
prob += pulp.lpSum([u[r] * output_data[dm][r] for r in outputs]), "Objective"
# 添加约束
prob += pulp.lpSum([v[i] * input_data[dm][i] for i in inputs]) == 1, "Standardization"
for dmu in input_data.keys():
prob += pulp.lpSum([u[r] * output_data[dmu][r] for r in outputs]) - pulp.lpSum([v[i] * input_data[dmu][i] for i in inputs]) <= 0, f"Efficiency_{dmu}"
# 解决问题
prob.solve()
# 存储效率值
efficiencies[dm] = pulp.value(prob.objective)
return efficiencies
# 使用案例数据进行测试
input_data = {
'A': {'医生人数': 10, '医院开销': 5},
'B': {'医生人数': 15, '医院开销': 7},
'C': {'医生人数': 8, '医院开销': 4}
}
output_data = {
'A': {'病人治愈人数': 1000},
'B': {'病人治愈人数': 1300},
'C': {'病人治愈人数': 800}
}
inputs = ['医生人数', '医院开销']
outputs = ['病人治愈人数']
DEA_evaluation(input_data, output_data, inputs, outputs)
结果为
{'A': 1.0, 'B': 0.9285714230000001, 'C': 1.0}
3.3 结果解读
医院A和医院C都位于生产前沿线上，它们的效率为1，即它们的效率达到了最佳实践。医院B位于生产前沿线以下，这意味着它的效率低于最佳实践。其效率值为0.93，这表示它与生产前沿线存在7%的差距，因此还有7%的改进空间。
DEA 的主要局限性是它只能评估相对效率，而不能评估绝对效率。此外，DEA 对异常值非常敏感。
4. DEA 模型的变体
尽管经典的DEA模型在很多情境下都很有用，但在某些特定的应用场景中，可能需要对模型进行一些调整或改进。以下介绍了几种常见的DEA模型变体：
4.1 加权DEA
在经典的DEA模型中，所有的输入和输出变量都被认为是同样重要的。但在某些情况下，某些输入或输出可能比其他的更重要。加权DEA允许决策者为不同的输入和输出设置不同的权重，从而更好地反映其在实际运营中的重要性。
4.2 网络DEA
传统的DEA模型考虑了决策单元的总体输入和输出，但它没有深入到决策单元的内部操作。网络DEA模型将决策单元的操作划分为几个子过程或阶段，每个子过程都有自己的输入和输出。这允许分析者更深入地了解决策单元的内部效率。
4.3 动态DEA
而传统的DEA模型是静态的，只考虑了一个特定时间点的效率。而动态DEA模型考虑了一段时间内的效率，这对于分析和比较长期运营的效率非常有用。
4.4 带有不良输出的DEA
在某些情况下，决策单元可能会产生不良输出，例如污染或浪费。这种模型变体允许同时考虑良好和不良的输出，从而提供了一个更全面的效率评估。
4.5 跨效率DEA
当需要比较来自不同数据集的决策单元的效率时，可以使用跨效率DEA。这使得可以将不同的决策单元放在同一个效率尺度上，从而进行比较。
数据包络分析很强大，可以帮助我们理解和比较决策单元的效率。通过 DEA，我们可以识别出低效的决策单元，并找出它们的不足之处，从而提高整体的效率。
参考文献
Charnes, A., Cooper, W. W., & Rhodes, E. (1978). Measuring the efficiency of decision making units. European Journal of Operational Research, 2(6), 429-444.
Emrouznejad, A., & Yang, G. L. (2018). A survey and analysis of the first 40 years of scholarly literature in DEA: 1978–2016. Socio-Economic Planning Sciences, 61, 4-8.