数据不够正态，Box-Cox 来转换
正态性是许多统计方法和机器学习模型的关键假设。当数据不满足正态分布的时，可能会导致模型估计不准确（如线性回归，都假设数据是正态分布的。如果这一假设被违反，那么参数估计可能会有偏），预测误差增加，甚至导致某些统计检验的结论失效。为了解决这个问题，研究人员和统计学家们引入了多种数据转换技术，其中最著名的之一就是 Box-Cox 转换。
为什么引入Box-Cox 转换?
数据的正态性对于许多统计方法至关重要。例如，在假设检验、回归分析、ANOVA 和很多其他方法中，数据的正态分布是关键假设之一。数据的非正态性可能会导致估计的偏误、增加类型I和类型II错误的风险，以及降低模型的预测精度。因此，为了满足正态性假设，研究者们经常需要对数据进行某种形式的转换。
Box-Cox 转换是这样的一种方法，它的目的是使偏斜的数据更接近正态分布。这种转换方法是 George Box 和 David Cox 于 1964 年首次提出的，现已成为统计领域中的标准技术。
数学模型是什么?
Box-Cox 转换的数学模型定义如下：
其中， 是要被转换的数据，而 是转换参数。选择最佳的 值通常是通过最大化数据的对数似然来实现的。
为什么Box-Cox 能够使数据正态?
Box-Cox 转换的工作原理有几个方面：
对偏度的矫正：通过调整数据的幂，Box-Cox 转换可以有效地桥正数据的偏斜性。对于正偏 斜的数据，选择 值小于 1 可以使数据向左移动，从而减少偏斜性。对于负偏斜的数据，选 择 值大于 1 可以进行桥正。 方差稳定化：Box-Cox 转换也可以矫正数据的异方差性，使其变得更加稳定。 数学理论: Box-Cox 转换的形式基于数学和统计理论，指出当选择适当的 值时，可以使数据的对数似然最大化，从而使数据更接近正态分布。
Box-Cox 转换的实际应用
考虑一个例子，其中我们有一个数据集，该数据集记录了不同城市的人口和相关的犯罪率。犯罪率的数据可能会受到极端值的影响，并且可能不是正态分布的。在这种情况下，我们可以使用 Box-Cox 转换来矫正犯罪率的分布。
来看这份虚拟的数据。假设我们有一个包含20个城市的数据集。每个城市都有其人口数量和年犯罪率（表示为每10,000人中发生的犯罪事件数）。
| 城市1 | 城市2 | 城市3 | 城市4 | 城市5 | 城市6 | 城市7 | 城市8 | 城市9 | 城市10 | 城市11 | 城市12 | 城市13 | 城市14 | 城市15 | 城市16 | 城市17 | 城市18 | 城市19 | 城市20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 23 | 151 | 66 | 46 | 8 | 8 | 3 | 101 | 46 | 62 | 1 | 175 | 89 | 12 | 10 | 10 | 18 | 37 | 28 | 17 |
先直观的看一下数据的频率分布：
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from scipy.stats import shapiro
# 数据
crime_rates = [23, 151, 66, 46, 8, 8, 3, 101, 46, 62, 1, 175, 89, 12, 10, 10, 18, 37, 28, 17]
# 绘制频率分布直方图和概率密度曲线
plt.figure(figsize=(10,6))
sns.histplot(crime_rates, kde=True, bins=10)
plt.title('Frequency Distribution of Crime Rates')
plt.xlabel('Crime Rate (per 10,000)')
plt.ylabel('Frequency')
plt.grid(True, which='both', linestyle='--', linewidth=0.5)
plt.show()
从上图中，我们可以清晰地观察到犯罪率数据的分布。这些数据似乎并不完全遵循正态分布。
我们可以使用统计方法（如 Shapiro-Wilk 测试）来检验数据的正态性。
# Shapiro-Wilk 测试
shapiro_test = shapiro(crime_rates)
shapiro_test
测试统计量 (W值) = 0.8087,p值 = 0.0012,由于p值（0.0012）小于0.05，我们拒绝原假设，即数据是正态分布的。因此，我们可以确定这些犯罪率数据并不是正态分布的。
此时我们可以应用 Box-Cox 转换并选择最佳的 λ 值来最大化对数似然。
from scipy.stats import boxcox
# 应用Box-Cox转换
transformed_data, best_lambda = boxcox(crime_rates)
best_lambda, transformed_data
通过Box-Cox转换，我们得到了最佳的 λ 值为 0.1701。这意味着当 λ 取此值时，转换后的数据最大化了对数似然，从而更接近正态分布。
下面，我们将重新绘制转换后的数据的频率分布直方图和概率密度曲线，并再次进行Shapiro-Wilk 测试，以确认数据的正态性。
# 绘制转换后的数据的直方图和概率密度曲线
sns.histplot(transformed_data, kde=True, bins=8)
plt.title("Transformed Crime Rates Distribution")
plt.xlabel("Transformed Crime Rates")
plt.ylabel("Frequency")
plt.show()
# 再次进行Shapiro-Wilk 测试
shapiro_transformed = shapiro(transformed_data)
shapiro_transformed
从上图可以看出，经过Box-Cox转换后的犯罪率数据更接近正态分布。此外，新的Shapiro-Wilk测试结果显示统计量为0.9826，p值为0.9628。由于此p值大于0.05，我们无法拒绝数据是正态分布的原假设。
这意味着经过Box-Cox转换后的数据满足正态性假设。因此，我们可以放心地使用需要正态分布假设的统计方法进行进一步分析。
完美！
结语
Box-Cox 转换是统计和数据分析中的一个强大工具，它可以帮助我们矫正数据的非正态性。通过理解其背后的原理和知道如何在实际问题中应用它，我们可以更好地利用统计方法，从而得到更准确和有洞察力的结果。