中心极限定理及案例应用
中心极限定理
设 为相互独立同分布的随机变量序列,且 ,, 则对任何实数 有
这个定理指出了若 为相互独立同分布的随机变量序列, 则当 充分大时 (一般至少 越大近似越好), 随机变量 近似服从标准正态分布, 或者随机变量 近似服从正态分布 .
例1
车间里有 200 台同型号的车床, 每台车床开动需用电力 10 千瓦。由于工艺关系, 每台车床开停可理解为处于随机状态且相互独立, 开的概率为 。问至少应供应这批车床多少电力, 才能保证有 的可能性 这批车床都能正常工作?
解:
记 为第 台车床使用电力情况的随机变量,则
又记 应表示这批车床用电总和的随机变量。由相互独立同分布的中心极限定理知 近似服从正态分布, 由计算知
由此 近似服从标准正态 分布, 故由
解得 即 千瓦。
注: 为了保证这批车床 正常开动, 供应 2000 千瓦电力, 今保证 的正常工作, 只需供应 千瓦, 可节省电力 千瓦, 约占 的电力。这是经济管理中 一个很有意义的例子。
例 2
一个一百万人口的城市由统计每人因急病需用救护车的概率为二万分之一, 问这个城市急救中心需配备多少救护车, 才能保证有 的可能性能及时叫到救护车?
解:
记
则
根据中心极限定理, 近似服从正态分布, ; 由 即
得 . 查表求得 , 故需配备 67 辆救护车。
例 3
某大型超市举办有奖销售, 顾客凡购满 50 元可得对奖券一张, 多购多领。在 一万张奖券中开出一等奖 1 个、二等奖 10 个、三等奖 100 个、鼓励奖 1000 个(奖项能兼 得), 试问: 1）某人购买 3000 元商品, 至少获得 3 个 奖的概率? 2）一个消费者须购满多少钱商品, 其获 得二等奖以上的概率才可达到 ?
解:
记
则
记 ; 有 , ;
记
则
记 , 有 .;; 由
解得 . 即须购 元商品, 这是一个非常大的数目。
例 4
若计算机进行加法运算时, 先对每个数取整 (取最接近于它的整数), 这样取整后产生的误差 在 上服从均匀分布。假设各取整误差相互独立, 今对 1500 个数在取整后相加, 问其总误差的绝对值小于 15 的概率?
解:
记 的第 个数由于取整所产生的误差, 由均匀分布的 , 记 , 它表示 1500 个数取整后产生的总误差, 经计算 125, 从而 .
例 5
在非血缘群体中, 骨髓配型的概率为十万分之一。今有一白血病患者希望骨髓移植, 问 1) 若一骨髓库存有二十万份志愿 捐献者的资料, 该患者能找到配型的概率?2) 若患者希望以 的概率找到配型, 骨髄库至少应该备有多少份资料?
解:
以 表示骨髓库中第 个捐献者与该患者是否配型的随机变量, 则 , 又记 , 则 , 因为 近似服从正态 分布,故有 , 即配型概率约为 。
记 , 则 , . 由题意, 可从 求得。因为 服从正态分布, 故有
。
由此得, , 从中解出 。这也是一个很大的数目, 可见骨髓库容量必须很大,才有配对的实用价值。
从以上实例可以看到, 如果一个随机变量能够分解为相互独立同分布的随机变量列 (不管原来服从什么分布) 的和, 则可借助中心极限定理计算其概率问题。
此外, 在大样本的情况下, 对末知非正态 总体的期望进行区间估计或假设检验时也需要用中心极限定理。由此, 这个定理在概率论与数理统计之间起到了桥梁作用。
例 6
在一大批种子中随机挑选 600 粒 进行检测, 找到优质种子 93 粒。求这批种子 优质率的置信区间 (置信度为 )?
解: 记 为第 粒种子是否优质的随机变量, 令 , 则 即为种子的优质率。 又记 , 由中心极限定理知 近似服从标准正态分布。
分别记 600 个样本的取值为 ,; 则 , 于是优质率 (期望) 的置信区间为, 代人具 体数据算得 。
参考资料：
华天瑞.关于中心极限定理的数学建模[J].苏州市职业大学学报,2002(03):22-24.DOI:10.16219/j.cnki.szxbzk.2002.03.007.