隐马尔科夫模型(HMM)简介及Python实现
隐马尔科夫模型（Hidden Markov Model，简称HMM）是一种统计模型，用于描述一个含有隐状态的马尔科夫过程。其核心思想是，系统的状态是不直接观察到的，但对于这些状态的变化，会产生一系列的可观测的输出。这些输出的产生是依赖于当前的隐状态的。
基本要素
HMM包含以下基本元素:
隐状态集合 和观测集合 。 初始状态摡率 ，它定义了系统开始时处于某一状态的概率。 状态转移概率 ，它定义了从一个状态转移到另一个状态的概率。 观测摡率 ，它定义了给定当前状态下，观测某一符号的概率。
数学上，HMM可以表示为五元组 。下面是上述概念的数学表达。
状态转移概率矩阵 : 每一个元素 代表从状态 转移到状态 的概率。定义为:
其中 是时刻 的状态。
观测概率䂓阵 : 每一个元素 代表在状态 时观测到 的概率。定义为:
其中 是时刻 的观测值。
初始状态溉率矩阵 : 每一个元素 代表初始时刻处于状态 的概率。定义为:
三个基本问题
应用HMM的三个基本问题：
评估问题: 给定模型 和观测序列 ，计算在模型 下观测序列 出现的概率。解决方法: 前向-后向算法 解码问题: 给定模型 和观测序列 ，找出最有可能的状态序列。解决方法: Viterbi算法 学习问题: 给定观测序列 ，如何调整模型参数 以最大化观测序列 出现的概率。解决方法: Baum-Welch算法 (一种特殊的期望最大化算法)
前向算法
前向算法是一种动态规划方法，用于计算观测序列的概率。它定义了一个前向变量 ，表 示在时间 观测到 并且系统处于状态 的概率。递推公式为:
其中 是从状态 到状态 的转移概率， 是在状态 下观测到 的概率。
Viterbi算法
Viterbi算法也使用动态规划，但其目的是找到最有可能的隐藏状态序列。它定义了一个路径 变量 和一个前一个状态的指针。递推公式为:
Baum-Welch算法
Baum-Welch算法是一种期望最大化 (EM) 算法，用于找到使观测序列概率最大化的模型参数。HMM在很多领域都有应用，例如语音识别、自然语言处理、生物信息学等。
下图描述了一个隐马尔可夫模型 (HMM) 的问题，该模型涉及到天气和某人的日常活动。
隐藏状态 (Hidden States)：这些是模型中的隐变量，即我们不能直接观察到的变量。在这个例子中，隐藏状态是“Rainy”（雨天）和“Sunny”（晴天）。这意味着在某一天，天气可以是雨天或晴天，但我们不能直接观察到它。
观察 (Observations)：这些是我们可以直接观察到的变量或结果。在这里，观察是指某人的日常活动，可以是“walk”（散步）、“shop”（购物）或“clean”（打扫）。
初始概率 (Start Probability)：这描述了模型开始时天气状态的概率。在这个例子中，开始时雨天的概率是0.6，晴天的概率是0.4。
转移概率 (Transition Probability)：这描述了从当前状态转移到另一个状态的概率。例如，如果今天是雨天，那么明天依然是雨天的概率是0.7，而转为晴天的概率是0.3。同样，如果今天是晴天，那么明天变为雨天的概率是0.4，而继续是晴天的概率是0.6。
发射概率 (Emission Probability)：这描述了给定隐藏状态（天气）时，观察到某个活动的概率。例如，如果是雨天，那么该人散步的概率是0.1，购物的概率是0.4，打扫的概率是0.5。而如果是晴天，该人散步的概率是0.6，购物的概率是0.3，打扫的概率是0.1。
案例：天气状态
一个常见的HMM应用示例是“天气预测”问题。这个例子是为了解释HMM的基本概念，而不是真实的天气预测方法。
假设一个小城市的天气只有两种状态：晴天 (Sunny) 和雨天 (Rainy)。但我们不能直接观察到这些天气状态(假设我们在一个看不到光的室内）。我们只能通过一个朋友每天穿的衣服来推测天气。他有两种衣服：短袖 (Short-sleeved) 和长袖 (Long-sleeved)。这是一个HMM问题，因为天气状态是隐含的，我们只能观察到衣服。
模型参数：
状态集合: 'Sunny', 'Rainy' 观测集合: 'Short-sleeved', 'Long-sleeved' 初始概率: 'Sunny' : 0.9 , 'Rainy' : 0.1 状态转移概率矩阵:
观测概率矩阵:
Python实现
from hmmlearn import hmm
import numpy as np
# 定义模型参数
states = ["Sunny", "Rainy"]
observations = ["Short-sleeved", "Long-sleeved"]
initial_probabilities = np.array([0.9, 0.1])
transition_probabilities = np.array([
[0.8, 0.2],
[0.3, 0.7]
])
emission_probabilities = np.array([
[0.7, 0.3],
[0.4, 0.6]
])
# 创建并训练HMM模型
model = hmm.MultinomialHMM(n_components=2, n_trials=1) # 设置n_trials为1
model.startprob_ = initial_probabilities
model.transmat_ = transition_probabilities
model.emissionprob_ = emission_probabilities
# 假设我们观察到的连续三天的衣服是: ["Short-sleeved", "Long-sleeved", "Long-sleeved"]
# 将其转化为多项分布的计数
obs_seq = np.array([
[1, 0], # Short-sleeved
[0, 1], # Long-sleeved
[0, 1] # Long-sleeved
])
# 使用Viterbi算法找到最可能的天气序列
logprob, state_seq = model.decode(obs_seq)
print("Observation sequence:", [observations[np.argmax(obs)] for obs in obs_seq])
print("Most likely weather sequence:", [states[i] for i in state_seq])
结果：
Observation sequence: ['Short-sleeved', 'Long-sleeved', 'Long-sleeved']
Most likely weather sequence: ['Sunny', 'Sunny', 'Sunny']
解释一下上述代码的主要步骤和内容：
导入所需的库hmmlearn库中的hmm模块，以及numpy库。这些库分别用于处理隐马尔可夫模型和数值操作。
定义模型参数:
两个隐状态：Sunny和Rainy。 两种观测：Short-sleeved和Long-sleeved。 模型的初始概率、状态转移概率和发射概率。
初始化和设置HMM模型:创建了一个MultinomialHMM模型，该模型具有2个隐状态，并设置了n_trials为1。这意味着每次观测都基于单次试验。接着，我们为模型设置了初始概率、状态转移概率和发射概率。
观测数据:我们定义了一个观测序列，表示连续三天的衣服选择：Short-sleeved, Long-sleeved, Long-sleeved。这些观测被转换为多项分布的计数形式。
使用Viterbi算法解码:我们使用decode方法和Viterbi算法来找出给定观测序列下最有可能的隐状态序列。我们正在尝试观察到的衣服选择预测连续三天的天气，基于我们。
输出结果:最后，我们打印了观测到的衣服选择序列和预测的天气序列。
上述代码旨在解释如何使用hmmlearn库的MultinomialHMM模型来解决实际问题，即基于连续几天的衣服选择来预测这些天的天气。
hmmlearn库简介
hmmlearn 实现了隐马尔可夫模型 (Hidden Markov Models，简称 HMMs)。HMM 是一种生成概率模型，其中一系列可观测的变量由一系列内部隐藏状态生成。这些隐藏状态并不直接观察到。隐藏状态之间的转换被假定为（一阶）马尔可夫链的形式。它们可以通过起始概率向量和转移概率矩阵来指定。一个可观测值的发射概率可以是任何分布，其参数取决于当前的隐藏状态。HMM 完全由这些参数确定。
可用的模型:
hmm.CategoricalHMM: 有分类（离散）发射的隐马尔可夫模型。 hmm.GaussianHMM: 具有高斯发射的隐马尔可夫模型。 hmm.GMMHMM: 具有高斯混合发射的隐马尔可夫模型。 hmm.MultinomialHMM: 具有多项分布发射的隐马尔可夫模型。 hmm.PoissonHMM: 具有泊松发射的隐马尔可夫模型。 vhmm.VariationalCategoricalHMM: 使用变分推断训练的有分类（离散）发射的隐马尔可夫模型。 vhmm.VariationalGaussianHMM: 使用变分推断训练的具有多元高斯发射的隐马尔可夫模型。
构建 HMM 并生成样本:可以通过将上述参数传递给构造函数来构建一个 HMM 实例。然后，可以通过调用 sample() 从 HMM 生成样本。
监控收敛: EM 算法的迭代次数由 n_iter 参数上限。训练会继续进行，直到完成 n_iter 步或分数的变化低于指定的阈值 tol。注意，根据数据，EM 算法可能会或可能不会在给定的步骤中实现收敛。可以使用 monitor_ 属性来诊断收敛。
该库官网给出了一些有趣的例子，我们以地震解释为例，来说明该库的使用。
我们正在查看的是从1900年到2006年间，全球发生的所有7级及以上的地震数据。这个数据是由美国地质勘查局收集的。这段代码的主要目标是，通过考察地震的发生频率，看看我们是否能够区分出导致地震的不同的地壳构造过程。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson
from hmmlearn import hmm
# earthquake data from http://earthquake.usgs.gov/
earthquakes = np.array([
13, 14, 8, 10, 16, 26, 32, 27, 18, 32, 36, 24, 22, 23, 22, 18,
25, 21, 21, 14, 8, 11, 14, 23, 18, 17, 19, 20, 22, 19, 13, 26,
13, 14, 22, 24, 21, 22, 26, 21, 23, 24, 27, 41, 31, 27, 35, 26,
28, 36, 39, 21, 17, 22, 17, 19, 15, 34, 10, 15, 22, 18, 15, 20,
15, 22, 19, 16, 30, 27, 29, 23, 20, 16, 21, 21, 25, 16, 18, 15,
18, 14, 10, 15, 8, 15, 6, 11, 8, 7, 18, 16, 13, 12, 13, 20,
15, 16, 12, 18, 15, 16, 13, 15, 16, 11, 11])
这里，我们有一个名为earthquakes的numpy数组，它包含了不同年份地震的数量。接下来对数据进行可视化：
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(earthquakes, ".-", ms=6, mfc="orange", alpha=0.7)
ax.set_xticks(range(0, earthquakes.size, 10))
ax.set_xticklabels(range(1906, 2007, 10))
ax.set_xlabel('Year')
ax.set_ylabel('Count')
fig.show()
在这部分，我们创建了一个图形，展示了每年发生的地震数量。每个点表示一个年份，其高度表示那一年发生的地震数量。
接下来，我们尝试为地震数据拟合一个带有泊松发射的HMM。
scores = list()
models = list()
for n_components in range(1, 5):
for idx in range(10): # ten different random starting states
# define our hidden Markov model
model = hmm.PoissonHMM(n_components=n_components, random_state=idx,
n_iter=10)
model.fit(earthquakes[:, None])
models.append(model)
scores.append(model.score(earthquakes[:, None]))
print(f'Converged: {model.monitor_.converged}\t\t'
f'Score: {scores[-1]}')
# get the best model
model = models[np.argmax(scores)]
print(f'The best model had a score of {max(scores)} and '
f'{model.n_components} components')
# use the Viterbi algorithm to predict the most likely sequence of states
# given the model
states = model.predict(earthquakes[:, None])
在上述代码中，我们尝试使用不同数量的隐藏状态（从1到4）来训练模型，并对每个隐藏状态数量尝试10次不同的初始化，以获取最佳的模型拟合。
# plot model states over time
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(model.lambdas_[states], ".-", ms=6, mfc="orange")
ax.plot(earthquakes)
ax.set_title('States compared to generated')
ax.set_xlabel('State')
选择最佳模型：
model = models[np.argmax(scores)]
print(f'The best model had a score of {max(scores)} and {model.n_components} components')
根据模型的得分，我们选择了得分最高的模型，并输出了其得分和隐藏状态数量。
states = model.predict(earthquakes[:, None])
使用Viterbi算法，我们预测了最有可能的隐藏状态序列。
结果可视化.。在接下来的代码中，我们将模型预测的状态与实际的地震数据进行了对比，并展示了地震分布与模型的等待时间参数值之间的关系。
fig, ax = plt.subplots()
ax.imshow(model.transmat_, aspect='auto', cmap='spring')
ax.set_title('Transition Matrix')
ax.set_xlabel('State To')
ax.set_ylabel('State From')
fig, ax = plt.subplots()
ax.imshow(model.transmat_, aspect='auto', cmap='spring')
ax.set_title('Transition Matrix')
ax.set_xlabel('State To')
ax.set_ylabel('State From')
# get probabilities for each state given the data, take the average
# to find the proportion of time in that state
prop_per_state = model.predict_proba(earthquakes[:, None]).mean(axis=0)
# earthquake counts to plot
bins = sorted(np.unique(earthquakes))
fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(earthquakes, bins=bins, density=True)
ax.plot(bins, poisson.pmf(bins, model.lambdas_).T @ prop_per_state)
ax.set_title('Histogram of Earthquakes with Fitted Poisson States')
ax.set_xlabel('Number of Earthquakes')
ax.set_ylabel('Proportion')
plt.show()
参考资料：
【1】https://hmmlearn.readthedocs.io/en/latest/auto_examples/plot_poisson_hmm.html#sphx-glr-auto-examples-plot-poisson-hmm-py
【2】https://vitalflux.com/hidden-markov-models-concepts-explained-with-examples/
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