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概率论不存在了?抛了35万次硬币后,他们发现两面的结果不是1:1

The following article is from 环球科学 Author 环球科学


图片来源:Giphy


这是一份最科学的抛硬币教程。


撰文 | 冬鸢
审校 | 栗子


我们常会反复纠结某个问题而难以迅速作出决定,比如,今晚吃炸酱面还是麦当劳;又比如,要不要接受某个工作机会;或者是今晚要不要去跟TA表白……


图片来源:Giphy


这时,很多人会抛个硬币,用硬币的正反面替自己做出选择。甚至在一些重大场合,人们也常用抛硬币来做重要决定,比如世界杯球赛中,裁判员会通过抛硬币决定哪只队伍先开球。


图片来源:GIPHY


初中数学课本告诉我们,抛一枚质地均匀的硬币,得到正反面的概率相等。因此,人们认为硬币替自己做出的选择一定是公正的,没有私心的。不少数学家也做过实验证明,当抛硬币次数足够多时,得到正反面的频次接近1:1,包括曾抛了2万多次硬币的数理统计学创始者卡尔·皮尔逊(Karl Pearson)。


但如果我现在告诉你,抛硬币得到两面向上的概率其实不相等,你又怎么看?



两面概率不相等


最近,一群无聊的科学家聚在一起,用46种不同的硬币抛了350 757次,总耗时约20个小时。然后他们发现,抛出的硬币落下后,向上的那一面和硬币抛出前的初始面相同的概率略高,约为51%


他们就这样抛了20个小时的硬币(来源:Coin Tossing Team via YouTube)


也就是说,假如你将硬币抛离手中时,它是正面向上,那最终硬币落下时,其正面向上的概率更高,反之亦然


他们还发现,一些人抛硬币得到和起始面相同的那一面的概率更高;而另一些人则更接近理论值,即得到两面的概率都是50%。他们将这项研究发表了在预印本网站arXiv上,还未经同行评审。


很显然,这说明,特定的抛硬币方式,或许可以让特定面向上的概率更高


那么,有没有可能通过练习,让抛出去的硬币落下时,永远是自己想要的那一面向上呢?


理论上是可以的。


数学家佩尔西・戴康尼斯(Persi Diaconis)在成为美国斯坦福大学的数学和统计学教授之前,曾做过魔术师。他经常研究与“赌博”相关的数学,比如如何洗牌、如何掷骰子,当然也包括如何抛硬币。


热衷于纸牌、骰子、轮盘等的斯坦福数学家佩尔西・戴康尼斯(图片来源:Stanford University)


早在2007年,戴康尼斯和他的团队就在论文中展示了一个抛硬币装置,这个装置将硬币抛出后落到指定位置,最终硬币向上的那一面在100%的情况下都与它的起始面相同


戴康尼斯和同事做出的抛硬币装置,抛出的硬币能100%得到与起始面相同的那一面(Diaconis et al, 2007)


而人类在用手抛硬币时,也可以达到这样的效果,比如一些魔术师就可以通过一些技巧控制抛硬币的结果


魔术师能控制抛硬币的结果(来源:SCAM NATION via youtube)


其实如果掌握了原理,多加练习,你也可以做到。所以我们就先来学习一下原理,然后大家回家自己练习。


首先我们需要知道,标准情况下,抛向空中的硬币是怎样运动的。


忽略空气阻力的影响,当我们将硬币抛向空中,硬币会沿着一个位于硬币平面且平行于地面的“轴”,做翻转运动。学过物理的朋友们可以很快反应过来,这个“轴”正好是硬币旋转的角动量(angular momentum)所在的直线。


来源:Numberphile via YouTube


来源:Numberphile via YouTube,制图:冬鸢


然后我们用一点简单的中学物理来分析一下硬币的运动。


假设硬币以初速度vz从距地面高度z0的手中被抛出,t秒后落回到手上,那么通过z0 + tv− (g/2)(t)= z0可以计算出t = vz/(g/2)。


假设硬币在空中每秒翻转ω次。在抛出硬币到硬币回到手上的过程中,如果硬币翻转了偶数次(即2j < ωvz/(g/2) < 2j+1,其中j为整数),那么硬币最终向上的一面与初始面相同;如果翻转了奇数次(即2j+1 < ωvz/(g/2) < 2j+2,其中j为整数),则与初始面相反


来源:wikiHow via YouTube


所以只要你能精确控制硬币的初速度、高度和翻转速度,就能精确控制抛硬币的结果。


如果我们在硬币翻转了整数次时,做出转速ω关于时间t的图像,可以得到很多条双曲线,如下图所示:


图片来源:Diaconis et al, 2007


假如硬币初始面为正面,而翻转速度和时间(ω,t)落在图中的阴影里,最终正面向上;若是转速和时间位于阴影之外的空白部分,结果则是反面朝上。


但是,此时阴影部分的面积和空白部分的面积是相等的,得到正面和反面的概率仍然是1:1。如果要出现上文提到的偏差,又该如何操作呢?



进动


以上分析是基于标准情况,抛出的硬币沿着平行与地面的“轴”翻转,也就是硬币旋转的角动量矢量平行于地面。


但戴康尼斯指出,这只是一种特殊情况。实际上,很多人抛出的硬币在空中旋转时,角动量是与地面不平行的


仔细观察可以发现这枚硬币在空中并不是绕着平行与地面的“轴”翻转的(来源:Sound/Video Impressions via youtube)


我们可以用如下的模型来解释:


图片来源:Diaconis et al, 2007


假设硬币抛出时正面向上,则垂直于硬币平面的法线(n)与角动量(M)会存在一个夹角(ψ),当硬币转动的轴与地面不平行(即ψ不为90°)时,硬币法线n就会绕着角动量M旋转,这也叫进动(precession)

戴康尼斯正在解释硬币翻转中的进动(来源:Numberphile via YouTube)


若硬币在抛出后的t时刻落回手上,当此时硬币法线N(t)与垂直地面方向的向量K的夹角余弦τ(t) 大于0时,硬币正面向上;小于0时,反面向上(起始面为正面)


而对于这个余弦τ(t) ,我们可以用τ(t)=cos2 ψ +sin2 ψcos(ωNt) 这个式子来计算,其中ωN为硬币法线绕角动量旋转的角速度。


如果我们将硬币的法线矢量N(t)在空中划过的区域看做一个球面,在这样的运动方式下,法线在上半球(正面向上)停留的时间是大于或等于在下半球(反面向上)停留的时间的


图片来源:Diaconis et al, 2007


最终可以算出,如果硬币的起始面为正面,那么硬币落回手上时正面向上的概率与ψ的关系是: 



用图像表示就是


图片来源:Diaconis et al, 2007


由此可以直观地看到,在硬币初始面为正面时,只有当ψ为直角,硬币落下时正面朝上的概率才是1/2,其余情况下都大于1/2。


而当ψ小于45°时,硬币虽然也在旋转,但实际上整个过程中,并没有翻转到另一面。因此,在这种情况下,不论硬币抛得有多高,最终落下来时依然是和抛出时保持相同的一面向上——这便是抛硬币魔术师所使用的手法。


魔术师抛出的硬币在空中没有翻转至另一面(来源:SCAM NATION via YouTube)


而当ψ为0°时,硬币甚至可以没有竖直方向的翻转,完全直上直下


来源:Numberphile via YouTube


事实上,这种运动方式在我们生活中非常常见,比较典型的,就是我们的地球。地球在自转的同时,赤道平面的法线也在绕一个轴转动:


看这地球的旋转像不像正在翻转的硬币?(来源:Steven Sanders via youtube)


总结一下就是,因为很多人抛出的硬币在空中翻转时存在进动,导致在给定硬币初始面的情况下,会使得最终硬币落回手上时,正反面向上的概率不相等。


不过,由于大多数人抛硬币的时候,不会关注硬币的起始面。因此,在起始面随机的前提下,抛硬币的最终结果,正反面概率仍然是1:1(预印本论文中有证明过程)。


所以,以后如果和别人抛硬币打赌,你可以练一练上面教的抛硬币技巧来“作弊”;如果是别人抛硬币,那就让他不要用手接,让硬币直接掉地上,因为这会使硬币再弹起来,到空中再翻转几圈,使结果更加随机。


硬币掉在地上之后再弹起来(来源:Numberphile via YouTube)


参考链接:

https://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/dyn_coin_07.pdf

https://arxiv.org/abs/2310.04153

http://gauss.stat.su.se/gu/sg/2012VT/penny.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Precession

https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum

https://en.wikipedia.org/wiki/Persi_Diaconis

https://www.youtube.com/watch?v=AYnJv68T3MM

https://www.youtube.com/watch?v=A-L7KOjyDrE

https://www.youtube.com/watch?v=qlVgEoZDjok

https://www.youtube.com/channel/UCZF_uxG9yEiuUkaFol16IBg


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来源:环球科学

编辑:尼洛


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