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端着咖啡走路是一项鲜为人知的物理学壮举

蕉蕉的奇妙冒险 中科院物理所 2022-04-06

如何将一杯咖啡从咖啡机端到工位?

或者将一碗豆浆从餐厅窗口端到餐桌?

甚至是如何把一勺番茄蛋汤从锅里舀入碗内?

——干饭人的每天灵魂拷问


对于聪明的人类而言,这不过是生存的众多基本技能之一。(手:这不有我就行?

但对于物理学来说,端咖啡其实是一项了不起的壮举!一切,都要从那两只摆钟开始说起——




01



摆钟之间的悄悄话


单摆是我们学习物理的过程中接触的最早的模型之一。在单摆中,我们假设绳子一端固定,另一端连接一个质点,并假设绳子是没有重量的,这样所有的质量都集中一个没有体积的质点上,对质点进行受力分析:该质点受两个力的作用,一个是绳子的拉力,一个是重力,再加上绳子不可拉伸的约束条件,得到运动方程式为:

因为sinθ的存在,这是一个非线性的常微分方程,在θ → 0 的情形下,我们可以做sinθ = θ的近似,这样就将原来难以处理的非线性常微分方程,变成了易于处理的线性常微分方程。得到:

它的解为:

其中θ₀,ϕ₀ 由单摆的初始状态决定。这个解表明,单摆的角度正比于时间的正弦函数,这就意味着,单摆的运动具有固定的周期:

并且这个周期只由该地的重力加速度和绳子长度决定,与单摆摆动幅度,单摆末端的质点的重量没有关系。


依据这种特性,1656 年,荷兰物理学家克里斯蒂安·惠更斯,发明了摆钟,用于解决航海中测量经度时的需要。航海中,人们可以通过天文学观测,确定所到之处的纬度;如果有准确的计时工具,就能根据一个经度已知的陆地参考点的时间,确定所到之处的经度。为了让摆钟计时更加地精确,惠更斯计划在船上放两个摆钟。没想到,两个素不相识的摆钟竟然……


……竟然摆着摆着,开始默契的同步了,就像说了什么悄悄话一样(虽然相位是完全相反的,即摆动的方向刚好相反)。

来源:YouTube@Veritasium


也就是说,两个放在一起的摆钟,虽然摆锤初始的位置不同,各自原本的周期也不同,但经过一段时间的摆动,竟然变得周期相同了。这种现象的产生是因为,两个摆不再是独立的摆动,而是通过连接他们的物体发生了相互作用,直到摆动趋于一致。这种现象被称为同步(synchronization)


三个摆动杂乱的节拍器,通过与连接它们的复杂系统相互作用,最后摆动同步。

来源:YouTube@Veritasium




02



当你端咖啡时,你在做什么



当一个人端着咖啡,小心翼翼的行进时,他究竟对这杯咖啡做了什么呢?


中学的物理图像可能会说,人给咖啡杯提供了向上的支持力但实际上,当看到自己的咖啡在杯子里来回震荡,时刻伴随着溢出的风险时,人们并不会无动于衷。(就像小时候每次看到这则《妈妈洗脚》公益广告时,小编都会有亿点点揪心——这得洒了多少水在地上啊……

《妈妈,洗脚》的广告中,小宝贝端的水洒了出去。

来源:腾讯视频


正如前面钟摆所依靠的“第三方复杂系统”,端咖啡的人在咖啡与杯子之间也充当了这样一个角色。此时,我们需要将杯子、咖啡和手的模型进行更加详尽的刻画。如果将杯子里调皮的咖啡看成一个滚动的小球(如下图(a)所示),那么进一步在物理上,杯子与咖啡便可以抽象为“手推车”与“摆”的模型——这是因为,杯子里小球总是贴着杯壁,其与杯壁圆弧所对应的圆心距离始终保持不变,相当于有一个不可伸长的绳子将其限制住(如下图(b)所示)。我们可以将这个组合简称为“车-摆”模型

端咖啡的概念模型与物理模型示意图

来源:文献[1]


简单来说,面对“想法不一致”的咖啡和杯子,人类的策略就是让它们【同步】。


同步又分为两种。一种是比较“激烈”的【反相同步】。当咖啡向,趁其还未溢出时赶紧把杯子往移;咖啡向左,就赶紧把杯子往右移。这样,让咖啡不停的在杯子里来回震荡,只要你晃得够快,咖啡就会被杯壁挡回来。这便是“高频”的反相同步策略——咖啡震荡的相位和咖啡杯移动的相位总是相反。


对墙击球时,手与球之间就是反相同步。

手和墙=咖啡杯壁,球=咖啡

来源:bilibili @东南排球训练营


相反的,另一种【同相同步】则更加温柔。当咖啡要向了,就让杯子追随咖啡的步伐,也向移动——毕竟咖啡不会无限的向右移动(因为咖啡同时也向上移动,动能转换为势能而使速度降低),杯子移到一定的位置时咖啡也就停止向右的躁动了;当咖啡开始向左,故伎重演,让杯子追上其向左的步伐便是,不必惊扰咖啡。在这种情况下,杯子移动的没有那么快,而移动的方向却与咖啡始终保持一致,所以是“低频”的同相同步策略。


汤姆端盘子时,身体和盘子就是同相同步。

汤姆=咖啡杯,盘子=咖啡

来源:youku@核桃话综艺


反相高频和同相低频,还可以借助摆长与频率的关系进一步理解。在“车-摆”模型中,反相与同相分别如下图(a)和(b)所示。由于车一直在移动,两种同步运动的等效摆长不同。反相同步的等效摆长明显小于同相同步的等效摆长,由上一节的频率与摆长关系可知,摆长越短,周期越小,频率越高。因此反相同步为高频、同相同步为低频。

两种同步运动的等效摆长示意图


实际上,聪明的人类很有可能在不自知的情况下,熟练的在两种同步模式之间无缝切换——仅凭观察力直觉,便能在端咖啡挑战中随机应变。但是,如果要设计端咖啡的机器人,我们改如何赋予它这个看起来理所应当的技能呢?


针对端咖啡的两种同步策略进行建模计算,研究者发现,同相与反相同步之间还存在一个【过渡区域】。这种过渡区域是由动力学系统的非线性所导致的。如果机器人被设计成以相对较小的步幅行走,将对应一个较小的周期外力,这时候动力学方程可以近似为线性,两种同步运动间不存在过渡区域,因此行走的频率可以是任意的;当机器人被设计成以较大的步幅行走时,对应较大的周期外力,这时候,在同相同步与反相同步之间存在一个不同步的过渡区,则行走的频率应该尽量避开这个过渡区的频率,以免咖啡与杯子发生不同步。


大步幅vs.小步幅

来源:bilibili




03



无处不在的同步现象


除了端咖啡,同步现象无处不在:天空的飞鸟群只能知道相邻飞鸟的情况,却最终能实现整个飞鸟群整齐的飞行——

鸟群的同步

 来源:YouTube@Veritasium


每只萤火虫都有自己独有的发光频率,而当萤火虫的密度大到一定程度时,他们就会同步发光——


萤火虫闪烁的同步

来源:YouTube@robin meier  


我们都听说过军队在桥上齐步走,会因为与桥发生共振而导致危险。但是,没有受过训练的旅客在桥上也可能齐步走。这是因为,每当旅客迈出一步,就会让给桥在侧向有一个微弱的力,这个微弱的力造成的桥的运动状态的改变又会影响其他旅客的脚步,于是旅客们的步伐通过桥相互影响,最终达成了同步。


2000年6月,泰晤士河上350米长的“千禧桥”出现明显摆动。

来源:YouTube@Veritasium


这些例子中每个个体都只能感受到自己附近的情况——这相对于整体来说很小;但却能够实现整体上的同步,这便意味着,整体不是部分的简单加和。个体在组成整体时,因为相互作用的存在,会涌现出新的现象和规律,这些现象和规律是无法通过观察个体发现的。这正是非线性的特点。我们都知道,在线性关系中,各变量间是互不相干的独立关系,满足叠加原理(整体等于部分之和);而非线性关系则有相互作用,正是这种相互作用,使得整体不再是简单地等于部分之和,还需要考虑各部分之间的耦合作用。当一个人端咖啡的时候,他便是咖啡与杯子耦合作用的来源。这也正是诺奖得主菲利普·沃伦·安德森所说的:量变引起质变(More is different)。


用线性的方式看待世界,可以让事物变得更简单——再大再复杂的系统,也可以分解为许多简单个体的加和;但用非线性的方式看世界时,却能让事物变得更美妙——毕竟,每天一个小壮举,谁不爱呢


参考文献

  1. Phys. Rev. Applied 16, 034012 (2021) - Synchronous Transition in Complex Object Control (aps.org)

  2. Walking with coffee is a little-understood feat of physics

  3. Predictability, force, and (anti)resonance in complex object control | Journal of Neurophysiology

  4. Stability and predictability in human control of complex objects: Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science: Vol 28, No 10 (scitation.org)

  5. 非线性 百科 (quark.cn)

  6. The Surprising Secret of Synchronization - YouTube

  7. Fireflies in the Woods relaxation meditation Natural Sounds & Music - YouTube


特别鸣谢:平平无奇小叶榕

封图背景来源:bilibili

表情包来源:网络

编辑:蕉


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