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人教版六年级下册数学微课视频及练习5.1鸽巢问题

点右边关注我→ 中小学学习站 2021-08-08

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课后作业

 

比较简单的鸽巢原理

1.把5个苹果放入4个果盘里,那么一定有一个果盘里至少放2个苹果。为什么?

 

2.任意367名学生中,一定存在两名学生在同一天过生日。为什么?

 

3.把22个“三好学生”的名额分配给4个班级,那么至少有一个班级分得的名额多于5个。为什么?


4.把15人安排在7个房间里休息,那么肯定有一个房间里至少是3人。为什么?

 









答案:

1.如果每个果盘里只放1个苹果,4个果盘最多放4个苹果,剩下的1个苹果放进其中的任意一个果盘,那么就出现了有一个果盘里至少 放  2个苹果。

2.因为一年最多有366天,如果每个学生的生日都不同,最多有366人,那么第367人一定与其中的一人生日相同。

3.因为22÷4=5……2,剩下的2个名额分配给任意一个班级,就会出现这个班级分得的名额多于5个。

4.15÷7=2……1,剩下的1人安排在这7个房间的任意一个,就会出现这个房间的人数至少是3人。


教学设计

鸽巢问题

教材第68、第69页。

1. 在了解简单的“鸽巢问题”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实际问题。

2. 提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。

3. 通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。

重点:引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。

难点:找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。

铅笔、笔筒、书等。

师:同学们,老师给大家表演一个“魔术”。一副牌,取出大小王,还剩52张牌,请5个同学上来,每人随意抽一张,我知道至少有2人抽到的是同花色的,相信吗?试一试。

师生共同玩几次这个“小魔术”,验证一下。

师:想知道这是为什么吗?通过今天的学习,你就能解释这个现象了。下面我们就来研究这类问题,我们先从简单的情况入手研究。

【设计意图:紧紧扣住学生的好奇心,从学生喜欢的扑克牌“小魔术”开始,激活认知热情。使学生积极投入到对问题的研究中。同时,渗透研究问题的方法和建模的数学思想】

1. 讲授例1。

(1)认识“抽屉原理”。(课件出示例题)

把4支铅笔放进3个笔筒中,那么总有一个笔筒里至少放进2支铅笔。

学生读一读上面的例题,想一想并说一说这个例题中说了一件怎样的事。

教师指出:上面这个问题,同学们不难想出其中的道理,但要完全清楚地说明白,就需给出证明。

(2)学生分小组活动进行证明。

活动要求:

①学生先独立思考。

②把自己的想法和小组内的同学交流。

③如果需要动手操作,要分工并全面考虑问题。(谁分铅笔、谁当笔筒即“抽屉”、谁记录等)

④在全班交流汇报。

(3)汇报。

 师:哪个小组愿意说说你们是怎样证明的? 

①列举法证明。

学生证明后,教师提问:把4支铅笔放进3个笔筒里,共有几种不同的放法?

(共有4种不同的放法。在这里只考虑存在性问题,即把4支铅笔不管放进哪个笔筒,都视为同一种情况)

根据以上4种不同的放法,你能得出什么结论?(总有一个至少放进2支铅笔)

②数的分解法证明。

可以把4分解成三个数,共有四种情况:(4,0,0),(3,1,0),(2,2,0),(2,1,1),每一种结果的三个数中,至少有一个数是不小于2的。

③反证法(或假设法)证明。

让学生试着说一说,教师适时指点:

假设先在每个笔筒里放1支铅笔。那么,3个笔筒里就放了3支铅笔。还剩下1支铅笔,放进任意一个笔筒里,那么这个笔筒里就有2支铅笔。

(4)揭示规律。

请同学们继续思考:

①把5支铅笔放进4个笔筒中,那么总有一个笔筒里至少放进几支铅笔,为什么?

②如果把6支铅笔放进5个笔筒中,结果是否一样呢?把7支铅笔放进6个笔筒中呢?把10支铅笔放进9个笔筒中呢?把100支铅笔放进99个笔筒中呢?

学生回答的同时教师板书:

数量(支)  笔筒数(个)   结果

 5    总有一个笔筒里

提问:观察板书,你有什么发现? 

③小组讨论,引导学生得出一般性结论。

(只要放的铅笔数比笔筒的数量多1,总有一个笔筒里至少放进2支铅笔)

追问:如果要放的铅笔数比笔筒的数量多2,多3,多4呢?

学生根据具体情况思考并解决此类问题。

④教师小结。

上面我们所证明的数学原理就是最简单的“抽屉原理”,可以概括为:把m个物体任意放到m-1个抽屉里,那么总有一个抽屉中至少放进了2个物体。

2.教学例2。

师:把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么?自己想一想,再跟小组的同学交流。

学生独立思考后,进行小组交流;教师巡视了解情况。

组织全班交流,学生可能会说:

•我们可以动手操作,选用列举的方法:

第一个抽屉 7 6 5 4 3 3

第二个抽屉 0 1 1 1 1 2

第三个抽屉 0 0 1 2 3 2

   通过操作,我们把7本书放进3个抽屉,总有一个抽屉至少放进3本书。

•我们可以用数的分解法:把7分解成三个数,有(7,0,0),(6,1,0),(5,1,1),(4,1,2),(3,1,3),(3,2,2)这样六种情况。在任何一种情况中,总有一个数不小于3。

师:同学们,通过上面两种方法,我们知道了把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。但随着书的本书增多,数据变大,如果有8本书会怎样呢?10本呢?甚至更多呢?用列举法、数的分解法会怎样?(繁琐)我们能不能找到一种适用各种数据的一般方法呢?请同学们自己想一想。

学生进行独立思考。

师:假设把书尽量的“平均分”给各个抽屉,看每个抽屉能分到多少本书,你们能用什么算式表示这一平均分的过程呢?

生:7÷3=2……1

师:有余数的除法算式说明了什么问题?

生:把7本书平均放进3个抽屉,每个抽屉放2本书,还剩1本;把剩下的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放3本书。

师:如果有8本书会怎样呢?

生:8÷3=2……2,可以知道把8本书平均放进3个抽屉,每个抽屉放2本书,还剩2本;把剩下的2本中的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放3本书。

师:10本书呢?

生:10÷3=3……1,可知把10本书平均放进3个抽屉,每个抽屉放3本书,还剩1本;把剩下的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放4本书。

师:你发现了什么?

师生共同小结:要把a个物体放进n个抽屉,如果a÷n=b……c(c≠0),那么一定有一个抽屉至少放(b+1)个物体。

【设计意图:在渗透研究问题、探索规律时,先从简单的情况开始研究。证明过程中,展示了不同学生的证明方法和思维水平,使学生既互相学习、触类旁通,又建立“建模”思想,突出了学习方法】

 

师:通过今天的学习,你有什么收获?

生:物体数除以抽屉数,那么总会有一个抽屉里放进比商多1的物体个数。

师:你能在生活中找出这样的例子吗?

学生举例说明。

师:之所以把这个规律称之为“原理”,是因为在我们的生活中存在着许多能用这个原理解决的问题,研究出这个规律是非常有价值的。同学们继续努力吧!

【设计意图:研究的问题来源于生活,还要还原到生活中去。在教学的最后,请学生总结这节课学会的规律,再让学生举一些能用“鸽巢问题”解释的生活现象,以达到巩固应用的目的】


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