辅导对象：高一女生，辅导之前，向量基本不懂，辅导两课时之后，基本常规习题会做。于是直接上高考题。

题目如图：直角三角形ABC，角C为直角，D为斜边AB中点，P为CD中点，求图中算式的结果。

孩子看题之后，想了几分钟，尝试了用向量表达，但是没有思路，痛苦中。我看到这道题，头也嗡的一下，怎么搞，我也看不出，但是我有数学思维工具，静下来，抓住数学思维本质的过程，我一下看出了怎么解决这个问题的几个方案。

于是与孩子一起回顾数学思维，数学是研究特殊结构的（数学对象如函数、图形、数列、概率事件等），第一步，识别出数学对象；第二步，看数学对象是否确定唯一，若确定，还确定了哪些元素。若不确定，知道哪些元素即可确定，用这个元素可以表示哪些量；第三步选择合适的运算工具进行运算。

我：“这道题你先看到的特殊结构是？”

学生：“直角三角形ABC”

我：“三角形ABC是否唯一确定？”

学生迟疑一下之后表示：“三角形不确定。只知道是直角三角形”

我：“知道什么可以唯一确定这个直角三角形？”

学生：“如果两个直角边知道了，这个三角形就确定了。”

我：“假设这两边已知，D点P点是否可以确定？每一边每个角是否是确定的？”

学生仔细想了一会：“都是确定的。”

我：“处理三角形有哪些方法，回忆下，高一有哪些章节可以处理三角形？”

学生：“向量，解三角形”

“你现在试试看。”

她尝试了用CA向量和CB向量为基底，表示出PA、PB、PC三个向量，运算出了错，但是思路已经出来。

之后我分享了我的思路，其实我只是在选择运算工具时多了一个利用直角坐标系处理。这个孩子也会，但是当时没启动。孩子发现三个选择中最简单的是用直角坐标系，表示要记住这个方法，我问：“为什么老师会想到直角坐标系？你怎么保证你也能想到？”

孩子面对这个问题有点懵，我重申问题之后，她重新把题目思考过程回顾了一遍之后，说：“关键是要选择算法。”（其实孩子这些知识和方法都过关了，但是很奇怪，想得起来与想不起来恰恰是最难解决的问题，符合数学本质的思维过程恰恰就是组织起这些独立知识块的工具）

我和孩子对比了一开始的思维过程差异，一开始孩子就想奔着结果去，对于三角形识别和确定三角形没有意识，方法也没有选择。

这样的数学思维过程需要在不同章节中反复训练体会，刚才这道题是个示范。

下面就进入模仿训练阶段，模仿什么？就是模仿这样的思维过程。

第8题训练，孩子自己完成，没问题，完成后要求孩子用刚才的三步思维回答问题，这一步的目的是在会的基础上通过语言格式表达强化思维格式。

孩子的汇报：“对象是三角形ABC，这个三角形不确定，如果AB、AC知道，则三角形确定，算法选择根据题目是用向量。”

这道题孩子表达格式正确，但是和做题过程匹配不上，一起整理，这一题实际上有三个三角形。选择两个小的，每个都已经知道两边，借助向量可以表示第三边。

这道题结束，孩子意识到数学对象识别是需要筛选的。

然后第6、7、9孩子先汇报三步思维，再做题，此时很快思路就出来了。

注：一直没有突破的是这三步思维孩子很难自动启动，往往是反复训练的结果，目前的思考是这样的思考方式对孩子就像空降一种新思维一般，能否让孩子感觉到她本来就是这样想的，她本来就具有这样的思维过程能力，这一点一直没有解决。