高中数学《8.2 函数与数学模型》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-13

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知识点：

(1)一次函数模型

一次函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变。

(2)指数函数模型

指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”。

(3)对数函数模型

对数函数模型y= logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓。

(4)幂函数模型

幂函数模型y=x"(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间。

(1)一次函数模型:y=kx+b(k,b为常数,k≠0),也称线性函数模型。

(2)二次函数模型:当研究的问题呈现先增长后减少的特点时,可以选用二次函数模型y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a<0);当研究的问题呈现先减少后增长的特点时,可以选用二次函数模型y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a>0)。

(3)指数函数模型: y=m

+n(通常m,a,n为常数, m≠0,a>0,且a≠1)

(4)对数函数模型:y=mlogax+n(通常m,a,n为常数,m≠0,a>0,且a≠1,x>0)。

(5)幂函数模型:y=axⁿ+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1)。

(6)反比例函数模型:y=k/x+b(k,b为常数,k≠0)。

(7)分段函数模型:一种比较复杂的函数模型,可以用来描述在不同区间上有不同变化规律的实际问题。或者将定义域上变化复杂的函数分成几段区间来研究,在每一段区间上函数有各自的变化规律,根据函数的具体变化,再分段选择相应的函数模型。

视频教学：

练习：

1.当x越来越大时,下列函数中增长速度最快的是 (　　)

A.y=5x　　　　B.y=log₅x　　　　C.y=x⁵　　　　D.y=5^x

2.以下四种说法中正确的是 (　　)

A.幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快

B.对任意的x>0,xⁿ>log_ax

C.对任意的x>0,a^x>log_ax

D.不一定存在x₀,当x>x₀时,总有a^x>xⁿ>log_ax

3.(2020江苏泰州中学高一期中)三个变量y₁,y₂,y₃随着变量x的变化情况如下表:

x	1	3	5	7	9	11
y₁	5	135	625	1 715	3 635	6 655
y₂	5	29	245	2 189	19 685	177 149
y₃	5	6.10	6.61	6.95	7.20	7.40

则与x呈对数型函数、指数型函数、幂型函数变化的变量依次是 (　　)

A.y₁,y₂,y₃　　　　B.y₂,y₁,y₃　　　　C.y₃,y₂,y₁　　　　D.y₃,y₁,y₂

4.函数y=x²与函数y=xln x在区间(0,+∞)上增长较快的是　　　　.

5.(2020江苏连云港海头高级中学高一期中)生活经验告诉我们,当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图象,A对应　　　　;B对应　　　　;C对应　　　　;D对应　　　　.

6.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,其路程f_i(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f₁(x)=2^x-1, f₂(x)=x², f₃(x)=x,f₄(x)=log₂(x+1).有以下结论:

①当x>1时,甲走在最前面;

②当x>1时,乙走在最前面;

③当0<< span="">x<1< span="">时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面;

④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;

⑤如果它们一直运动下去,那么最终走在最前面的是甲.

其中所有正确结论的序号为　　　　.

7.函数f(x)=2^x和g(x)=3x的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),且x₁<< span="">x₂.

(1)请指出图中曲线C₁,C₂分别对应的函数;

(2)结合函数的图象,比较f(3),g(3), f(2 019),g(2 019)的大小.

8.若x∈(0,+∞),试分别写出使不等式:①log₂x<2< span="">^x<< span="">x²;②log₂x<< span="">x²<2< span="">^x成立的自变量x的取值范围.

课件：

教案：

教学目标：

知识与技能：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．

过程与方法：能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．

情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．

教学重点：

重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．

难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．

一、新课导入：

材料：澳大利亚兔子数“爆炸”

在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．

二、师生互动，新课讲解：

例1（课本P95例1），假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

请问，你会选择哪种投资方案？

探究：

1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？

2）分析解答（略）（见P95--97）

3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？

例2：（课本P97例2）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：

．问：其中哪个模型能符合公司的要求？

探究：

1）本例涉及了哪几类函数模型？

2）本例的实质是什么？

3）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？

解答：（课本P97—98）

幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：

你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结。

课堂练习：（课本P98练习 NO：1；2）

例3．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

探索：

1）本例涉及到哪些数量关系？

2）应用如何选取变量，其取值范围又如何？

3）应当选取何种函数模型来描述所选变量的关系？

4）“总收入最高”的数学含义如何理解？

[略解：]

设客房日租金每间提高个2元，则每天客房出租数为300-10，

由>0，且300-10>0得：0<< span=""><30< span="">

设客房租金总收入元，则有：老派

（0<< span=""><30）< span="">

由二次函数性质可知当=10时，_max=8000．

所以当每间客房日租金提高到20+10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元．

三、课堂小结，巩固反思

三种函数模型的性质

函数性质	y＝a^x(a>1)	y＝log_ax(a>1)	y＝xⁿ(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性	增函数	增函数	增函数
图象的变化	随x的增大逐渐变“陡”	随x的增大逐渐趋于稳定	随n值而不同

四、布置作业：

A组：

1、　一公顷地等于一百五十亩，某外资企业在A开发区租借x公顷，则合多少亩地？

解答：设x公顷合y亩地，则有函数关系

y＝150x（x＞0）

评注：这是一个常规的换算问题，而在我们所学的内容中恰好是一个函数问题，由此可以理解很多换算问题都是一种常规的函数关系。

2、某国际快递公司从上海到纽约的一次快递业务报价为：

物资	快递价格（人民币）
不超出10公斤	200（元）
超出10公斤，不超出20公斤	350（元）
超出20公斤，不超出40公斤	500（元）
40公斤以上	每增加一公斤加费10元

(1) 写出快递价格y与快递物资x的函数关系式；

(2) 某人需要快递50公斤物资，他用一次快递便宜还是分两次快递（一次20公斤，一次30公斤）便宜？

解：(1) 　　　　 200 0＜x≤10 y的单位元

　　　　　 y＝f(x)＝　 350 10＜x≤20 x的单位：公斤

500 20＜x≤40

500＋10(x－40) 40＜x

(2) 一次快递的费用为：y₁＝500＋40(50－40)＝600（元）

二次快递的费用为：y₂＝350＋500＝850（元）

答：一次快递费用便宜。

评注：这是一个分段函数的典型实例，在建立数学模型的基础上可以用来怎样合理使用运输方法。

3、将20米长的一段篱笆沿墙围成三个大小相同的矩形猪窝（如图），用怎样围法面积最大？

解：设猪舍的一边长为x，则另一边为

∴　面积为　　（0＜x＜5）

∴　当x＝2.5米时，面积S_max＝25（米²）

答：当一间猪舍的一边长为2.5米，另一边为米时，面积最大。

评注：二次函数的最值是一个重要问题，而在求最值之前有一个二次函数的模型建立问题，在模型建立中，一定要对各种因素思考完整。

4、已知函数图象（如图）中A(0, 4)、B(－2, 0)、C(1, 1)、D(2, 0)（均为线段）

(1) 写出函数在[－2, 3]上的表达式；

(2) 写出函数的增区间；

(3) 出函数的最大或最小值。

解：(1) A

(2) 函数分别在[－2, 0)，[0, 1]上为增函数。 C

(3) 函数当x＝3时取最小值－1，无最大值。 B D

评注：这是一个图形与函数关系的问题，在这里要注意[－2, 1]不是它的单调区间，并注意4不是它的最大值，而只是一个上限。

5、商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的92%付款．顾客只能任选其一．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数为x个，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论两种办法哪一种更省钱．

解　由优惠办法(1)可得函数关系式为

y₁＝20×4＋(x－4)×5＝5x＋60 (x≥4)；

由优惠办法(2)得：

y₂＝4×20×0.92＋x×5×0.92＝4.6x＋73.6 (x≥4)

当购买34只茶杯时，两办法付款相同；

当4≤x<34时，< span="">y₁<< span="">y₂，优惠办法(1)省钱；

当x>34时，y₁>y₂，优惠办法(2)省钱．

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