高中数学《2.2 充分条件、必要条件、充要条件》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
一、充分条件
在实例一中，条件A1、B1、C1、D1 与结论E1之间有如下三个关系：
（1）只要A1、B1、C1、D1具备其中的任何一个，E1张三家有肉吃就必定成立。
（2）如果知道了张三家有肉吃（E1）是事实，我们只能断定A1、B1、C1、D1中必定有一个或者多个成立，但无法确知哪个或哪几个成立。也就是说，如果E1成立，不能确定得出A1存在的结论，对于B1、C1、D1也是如此。反过来说，如果A1不存在，不能得出E1不成立的结论。
（3）如果知道张三家没有肉吃（非E1）是事实，必然会确定得出A1、B1、C1、D1均不存在的结论。
在这种情况下， A1、B1、C1、D1就是E1的充分条件。抽象的表述如下：
用A表示条件A存在，用非A表示条件A不存在，用B表示结论B成立，用非B表示结论B不成立。如果（1）A→B（→表示能够推导出，下同）且（2）非A ◌→非B（◌→表示不能推导出，下同）且（3）非B→非A，那么条件A就是结论B的充分条件。
我们再用图1所示的开关并联现象说明一下充分条件。图中两个开关SW1和SW2是并联的，在灯泡D1完好前提下，SW1闭合、SW2闭合均是“灯泡D1亮”的充分条件。
在语言叙述中，我们一般用“如果……，就……”来表示充分条件。例如，如果张三家里有猪肉，张三家里就有肉吃；如果期末考试考了60，就能拿到该课程的学分。
二、必要条件
在实例二中，条件A2、B2、C2与结论D2之间有如下三个关系：
（1）研究者具备较高的研究能力（A2）、研究者努力进行研究（B2）、研究者的研究方向聚焦（C2）三者必须同时具备，结论“研究者产出高水平的研究成果（D2）”才能成立。
（2）如果条件A2、B2、C2任何一个不存在，D2就不成立。
（3）如果D2不成立，只能断定条件A2、B2、C2中有一个或者多个不存在，但无法确定判断哪一个或者哪几个不存在。
在这种情况下，我们称A2、B2、C2是D2的必要条件。抽象的表述如下：
用A表示条件A存在，用非A表示条件A不存在，用B表示结论B成立，用非B表示结论B不成立。如果（1）B→A且（2）非A→非B且（3）非B◌→非A，那么条件A就是结论B的必要条件。
我们再用图2所示的开关串联现象来说明一下必要条件。图中两个开关SW1和SW2是串联的，在灯泡D1完好前提下，SW1闭合、SW2闭合均是“灯泡D1亮”的必要条件。
在语言叙述中，我们一般用“只有……，才……”来表示充分条件。例如，只有具备了高超的科研能力，才能产出高水平的科研成果；只有取得了博士学位，才能到大学当老师……。
三、充要条件
在实例三中：条件A3与结论B3有两种关系：
（1）三角形的三条边相等（A3）存在，三角形的三个角相等（B3）必然成立。
（2）三角形的三个角相等（B3）成立，三角形的三条边相等（A3）必然存在。
在这种情况下，我们称A3是B3的充要条件，或者说B3是A3的充要条件。抽象的概念表述如下：
用A表示条件A存在，用B表示结论B成立。如果（1）A→B且（2）B→A，那么A就是B的充要条件。实际上，A既是B的唯一必要条件，也是B的唯一充分条件。反过来，我们也说B是A的充要条件。
我们再用图3所示的单开关现象来说明一下充要条件。图中的电路只有一个开关SW，在灯泡D完好前提下，SW闭合就是“灯泡D亮”的充要条件。
视频教学：
练习：
1.【2015高考重庆，文2】“x=1”是“x2-2x+1=0”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
由“x=1”显然能推出“x2-2x+1=0”，故条件是充分的，又由“x2-2x+1=0”可得(x-1)2=0，解得x=1，所以条件也是必要的，故选A.
2. x2-2x-3＜0成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．-1＜x＜3 B．0＜x＜3
C．-2＜x＜3 D．-2＜x＜1
【答案】C
【解析】
根据一元二次不等式的解法，可得 x2-2x-3＜0的解集为{x|-1＜x＜3}，进而依次分析选项，判断选项所给的不等式与-1＜x＜3的关系，
A中“-1＜x＜3”是“ x2-2x-3＜0”成立的充要条件，不合题意；
B中“0＜x＜3”是“ x2-2x-3＜0”成立的充分不必要条件，不合题意；
C中“-2＜x＜3”是“ x2-2x-3＜0”成立的必要不充分条件，符合题意；
D中“-2＜x＜1”是“x2-2x-3＜0”成立的既不充分又不必要条件，不合题意．故选C．
3. 若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是（ ）
A．
C．
【答案】C
【解析】
由题意得：
4. 若“x2-2x-3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为______．
【答案】-1
【解析】
由x2-2x-3＞0得：x＞3或x＜1，因为“x2-2x-3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，所以a≤-1，所以实数a的最大值为-1．
5. 【2015山东二模】已知集合A={x|x2=a}，B={-1，０，１} ，则a=1是
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
由
课件：
教案：
教学目标：
1、知识与技能：
（1）、通过对具体实例中条件之间关系的分析，理解充分条件、必要条件的含义。
（2）、初步掌握充分、必要条件的判断方法。
2、过程与方法：
（1）、通过判定定理、性质定理，帮助学生抓住充分条件、必要条件等概念的本质，更好的理解概念。
（2）、通过充分条件和必要条件的学习，培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力。
3、情感、态度与价值观：
（1）、通过具体的实例理解充分、必要条件在思考和解决数学问题中的作用。
（2）、在日常生活和学习中，养成说话准确、做事有条理的良好习惯。
（3）、在探求未知、认识客观世界的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑，提高思维的逻辑性。
（4）、让学生感受“在生活中数学地思维”，增加对学习逻辑知识的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲。
教学重难点：
教学重点：充分条件和必要条件的概念和判断方法。
教学难点：理解充分条件和必要条件的概念。
课型：新授课
教学方法：讲练结合教学法（配合多媒体辅助教学手段）
教具：多媒体、投影仪
教学程序：
1、复习旧知，引入新课
首先，在导入阶段的教学中，回顾上节研究的命题的一般形式“若p则q”和其真假判断的方法，先向学生介绍真假命题的简记符号。同时以命题“若x>0，则x2>0。”和其逆命题“若x2>0，则x>0。”为例让学生学习符号的使用。
在此基础上，让学生先分析下面的问题：（幻灯显示）
[幻灯显示]例1、判断下列命题的真假，并研究其逆命题的真假（用p与q的相互推出符号表示你的判断）。
p q
（1）若x>2， 则x>1。
（2）若两三角形面积相等，则这两个三角形全等。
（3）若三角形有两角相等，则它是等腰三角形
（4）若a2>b2， 则a>b。
教师在学生回答的基础上，结合（1）、（2）两个命题，分析引出对“充分的”和“必要的”这两个词汇的感性认识：
首先，在原命题中研究前者对后者的制约程度：
比如（1）中，p能推出q，表明要得到结论q，有了条件p就足够了，也就是说条件p对于结论q是“充分的”。在（2）中，p不能推出q，表明条件p对于结论q是“不充分的”。
其次，在逆命题中研究后者对前者的依赖程度：
比如（2）中，p不能推出q，但p能被q推出，这说明p对于q又是一种什么样的联系呢？作出分析：
命题（2）中，两三角形面积相等不能说明两三角形必然全等，但是，如果两三角形的面积不相等，则两三角形会全等吗？不会。为什么？因为如果两三角形全等，则两三角形的面积是必然相等的。这也就是说，两三角形面积相等是两三角形全等这个结论成立所“必须具备”的条件。那么，我们就说，p对于q而言是“必要的”。（板书：必要的）而在（1）中，p不能被q推出，表明条件p对于结论q是“不必要的”。
再让学生类比分析（3）、（4），不难得出：在（3）中，p对于q既是充分的，也是必要的；在（4）中，p对于q既不是充分的，也不是必要的。
结合上面的分析，向学生指明：我们看到，命题中的条件与结论之间这种相互推出的关系反映了两者之间的一种“充分的”或是“必要的”联系。在数学中，我们对这种联系进行了进一步的研究，引入的新的定义来描述它，这就是本节将研究的主要内容，从而引出课题：
充分条件与必要条件
2、阐述定义，理解内涵
由此，我们引入了如下定义：
[幻灯显示] 充分、必要条件的定义
如果已知pq，则说p是q的充分条件，q是p的必要条件。
在引导学生理解定义的过程中提出问题，引发思考：
问题：这里的p和q都叫做“条件”,那么“结论”又是什么呢?（引起认知冲突，鼓励学生发言）
强调：分清“条件”和“结论”是理解定义的关键!
接下来再回到例1，对其中存在的充分必要关系再次进行认识。
[幻灯显示]例1、试判断下列各命题中： p 是 q 的什么条件，q 又是 p 的什么条件？（学生分析作答）
p q
（1）若x>2， 则x>1。
（2）若两三角形面积相等，则这两个三角形全等。
（3）若三角形有两角相等，则它是等腰三角形
（4）若a2>b2， 则a>b。
1、教师在对学生的回答作出纠正和完善后，可以自然引出充分不必要、必要不充分、充分必要和既不充分也不必要条件的概念，使学生认识趋于完善。
2、注意引导学生观察答案的特点：
当条件与结论位置对换的时候，条件的类型也相应的发生着变化。
3、同时也要使学生明确：
区分条件和结论是准确判断充分、必要条件的重要前提。
4、强调说明，充分条件、必要条件指的是“pq”，则说p是q的充分条件，q是p的必要条件，在同一命题中的不同表示方式，可以简单记忆为“小充分，大必要”。
5、利用集合的语言Veen图表述为：
如果已知pq，则说p是q的充分条件，
q是p的必要条件。
3、分析理解课本例题，深化认识
[幻灯显示]
例2、指出下列各组命题中，p是q成立的什么条件，q是p成立的什么条件？
（1）p：x=y；q：x2=y2。
（2）p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等。
例3、指出下列各组命题中，p是q成立的什么条件，q是p成立的什么条件？（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？
（1）p：（x-2）（x-3）=0；q：x-2=0。
（2）p：同位角相等；q：两直线平行。
（3）p：x=3；q：x2=9。
（4）p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形。
教师和学生一起读题，分析其中的关系，作出判断。注意规范学生的思维过程，并在此基础上引导学生总结出判断充要关系的基本方法步骤：（幻灯显示或板书）
（1）分清条件和结论；
（2）考察条件和结论间的相互推出关系；
（3）根据定义作出判断。
4、结合生活，丰富感知
教师引导学生：充要关系不仅仅在数学中是非常重要的概念，在我们的日常生活中同样也是经常遇到。比如在我们生活中的一些名言名句中，就有不少例子。
[幻灯显示]
例4、请试试探讨下列生活中名言名句的充分、必要关系。
（1）水滴石穿
（2）骄兵必败
（3）名师出高徒
（4）便宜没好货
学生讨论，发表意见。只要合乎情理，就应当予以肯定。答案应当是不唯一的。
5、充分条件与判定定理
“两条直线斜率相等”是“两条直线平行”的充分条件。
“b2-4ac>0”是“方程ax2+bx+c=0在实数范围内有解”的充分条件。
判定定理是数学中一类重要的定理，阐述了结论成立的依据，也就是判定定理给出了结论成立的充分条件。
6、必要条件与性质定理
“一个平面内的直线平行于另一个平面”是“这两个平面平行”的必要条件。
“f（x）是R上的奇函数”是“f（x）=sinx”的必要条件。
性质定理同样是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某个特征。事实上，性质定理给出了结论成立的必要条件。
7、小结作业
[幻灯显示]
小结：（主要让学生总结）
1、充分条件、必要条件的定义；
2、充分条件、必要条件的判断方法；
3、认识生活中的充分条件、必要条件。
作业：（均做在课本上）
1、完成P8练习1、2；
2、完成本节习题1-2之1、2、3
3、写出生活中有充分、必要关系的名言名句各1句。
8、教学设计的后记与反思：
这是一节概念新授课，也是实践、总结和体验的研究课。通过“分析—探究—总结”的学习过程，在学生学习新知识的同时，也注意培养学生的能力。
本教学设计的例4和作业3，不同于通常的数学习题和数学问题，具有浓郁的文化气息，希望能成为是点缀的花边而且是点睛的妙笔，将课堂的学习延伸至课外，让学生在生活中自觉地体验“数学地思维”。
9、板书设计：
2.1充分条件和必要条件 1、命题：若p则q 3、判断充要条件的步骤： 符号表示：真、假 （1） （2） 2、定义： （3） 已知pÞq， 4、生活中的充要关系： 则称p是q的充分条件， q是p的必要条件。 5、 归纳小结 作业： |
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